でもコレって結局は「1/3×3」が「1」と同値という意味じゃないんですよね?
御自身も書いてる通り、極限ってあくまでも限界まで近づけた時に何に近づくかを言っているに過ぎないんでしょ?
数学勢の方々ってホントはこのこと分かってるのに知らんぷりしてるのかリアルに知らないのかどっちなの?
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1/3×3は1と同値です。
0.999…と表現した時は有限個の「9」をいくら沢山書いても1にはなりませんが、無限に9が並べばいくらでも真の値「1」に近づくという意味で極限を使った表現になっています。9を書き並べている間は「近づく」だけですが、その近付く先の真の値が「1」であり「1/3×3」です。
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ちなみに私は数学勢ではなく物理学博士。
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通常の数学では、0.999‥‥は「0.9 ,0.99、 0.999、…」という無限数列の極限を表します。それは、 0.333 ‥‥が数列「0.3 、0.33、 0.333、…」の極限を表しているのと同じです。1/3≠0.3333 ですが1/3=0.333…であるのと同様に、1≠0.9999ですが1=0.9999…です。
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0.9999...の「極限」が1と同値であって、0.9999...自体は1と同値ではないという理屈が正しいと仮定しても、1/3≠0.3333...なので、
1=1/3*3≠0.9999...となり1=1/3*3とは何ら矛盾しません。
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0.999....ってlim(n→∞)(1 - (1/10)^n)を直感的に分かりやすく書いてるようなものと考えればいいんじゃないですか?実際に等式としても誤りではないと思います。まあただの循環少数なんですけど。
あと等号は数値が等しい時に用いて、同値とは論理値(命題の真偽)が共に一致する時に用いるものです。
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極限の意味を近づく先の値ということを認めるとすると
0.999... = lim(n→∞)(1 - (1/10)^n) = 1
よって0.999... = 1が言えると思いますが納得いきませんか?
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>極限ってあくまでも限界まで近づけた時に何に近づくかを言っているに過ぎない
0.99...は1に近づくだけで1になるわけではないというふうに解釈されているようですね。
(続く)
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極限値ってのは「○○に限りなく近づいていますよ」という状況を表しているのではなく、「○○に限りなく近づいているときの○○の値そのもの」のことです。
そこがわかれば、あとは Takeshi Mogamiさんの説明がわかりやすいかな。
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