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lim, ∫, Σ, d/dxが交換できる条件をまとめました。全ての組合せ(∫と∫の交換等、同じ記号同士も含む10通り)に対応しています。
Σは数え上げ測度に関する積分、微分は差分商の極限と見れば、∫やlimとの交換に帰着できる場合も多いです。
最低限、ルベーグの収束定理とフビニの定理は押さえましょう
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佐久間
佐久間
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佐久間
@keisankionwykip
東大数理←理科I類←国高68th800。数学垢。4日に1回浮上。ただの学生。大学数学と高校数学を"両方とも"楽しめる人のフォロー歓迎。#チート式 の作者。関数解析が好き。リツイートが嫌なら「リツイートのみ非表示」に設定してください。ネタツイ→
東京 国分寺市Joined May 2013
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昔はWolframAlphaもこれと似たやり方で計算してた記憶がある。今は対数微分法とexp(f(x))の形にして合成関数の微分を使う方法になってるけど。
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「独立ではない量を独立な変数に代入したものと見做して微分する」という見方が有効な例は純粋数学でもある。
画像2枚目のようにすれば、複雑な塊を複数含む式、例えば関数の冪の微分を対数微分法を使わずに直接計算できる。正式な数学用語ではないけど、勝手に「多変数置換微分」と名付けた。
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男子小学生「デュクシ！デュクシ！」
男子数学科生「dξ（ディークシー）！dξ（ディークシー）！」
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Wikipediaの「衒学者」の記事が衒学者を衒学的に批判してて面白い。
ブーメランじゃん。
Wikipediaの口調が衒学的に聞こえるのはいつものことだけど、もしかしてこれは「この解説こそが衒学だ」っていうジョーク？
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L(q,q')や∂L/∂y'等という表記が誤解の元凶。これはEL方程式や解析力学に限った問題ではない。記号不足のせいか、物理全般で変数も定数も関数も同じ記号で表し、それについて何の注意もされないことが多い。それが数学的な誤解や余計な泥沼思考を招く。この泥沼に終止符を打とうではないか。拡散希望
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話がややこしくなるから割愛しようか迷ったけど、「y,y'は独立か？」だけに焦点を当てると更に注意が必要。「独立ではない」というのは正確には「大域的に見て」或いは「関数として」であり、「y,y'の(各点での)値は独立か？」という問いは、そもそも1点だけの情報では微分が決まらないから意味不明だ
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独立じゃない変数による偏微分など存在しない！
Wikipediaでも何でもいいから偏微分の定義を確認してくれ。他を止めて1変数だけ動かすときの微分だよ。2変数が独立じゃないってことは片方を動かせば他方も動く。よって、他方を止めて一方を動かす微分、すなわち偏微分は不可能。その矛盾に気付いてくれ
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2枚目の説明自体は間違ってはいないけど、引リツとかを見ると割と誤解を招いている模様。「やっぱりy'の値で微分してる」とか「独立じゃないから偏微分なんだ」とか数学的にメチャクチャな事を言う人もいる。∂L/∂y,∂L/∂y'は独立じゃない変数で偏微分したものではない。誤解で不安を埋めちゃダメ。
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∂L/∂vに物理的解釈なんか求めなくていいけど、考えずにはいられない物理学徒のために言うと、「関数yを動かすときy,y'は独立ではない。関数を考えるな。架空の位置wと速度vの対(状態)全体のなす空間ではw,vは独立だからwを止めながらvを動かすことが意味をもつ。架空の速度によるLの微分が∂L/∂v」
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y'の値で微分してるとしか思えないのは、記号に騙されているか物理的意味を捉えようとして空回りしている。y,y'と関係のないただの多変数関数Lを2番目の座標変数vで偏微分したのが∂L/∂vであり、元々代入されていた影響は合成関数の微分でδy'として出てくる。その時点で従属性はδy,δy'に吸収される。
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物理学徒が2枚目の説明だけに納得しやすいとすれば、実在する量のみを使った説明だからだろう。しかし、それだけでは「何故∂L/∂y'を考えていいのか」に本当の意味で答えられない。これは本来∂L/∂v等と書くべきもの。ラグランジアンLは代入されない値に対しても定義されているからこそ微分できる。
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これらはそもそも説明している対象が違う。両方とも理解すべき。
「y'の変化はδy'として計算して部分積分」は、「座標で偏微分した」後の話で、その前の∂L/∂y'を考える段階で「(独立な)座標変数」と「(独立でない)代入される量」を区別する必要がある。両方ともy,y'という同じ記号で表すから混乱する
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前者は数学徒、後者は物理学徒にウケやすい。数学徒は写像や定義域を気にするのに対し、物理学徒は量(実体)やイメージを気にする。前者は「代入する量y,y'が独立じゃなくても座標変数w,vは独立だから偏微分できる」という話だが、後者はその微分の正当化が終わった後で量δy,δy'の従属性を処理する話で
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「五十歩百歩」っていう言葉が「大差ない」っていう意味で使われてるけど、同じ差でも1歩と51歩だったらさすがに大差あるじゃん？
実はウェーバー・フェヒナーの法則に従って対数で知覚されてる説。
（イメージは感覚量の影響を受けるので）
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解析力学あるある
教員「x,y,y'を独立な変数だと思ってy'での微分も考えて〜」
物理学徒「yとy'は本当に独立ですか？」
教員「こういうもんだ！覚えろ」
数学徒「そこはx,y,y'での偏微分ではなく、座標自体による偏微分の結果の引数にx,y,y'が代入されていると考えるべきです」
物理学徒「なるほど
」
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無理やり掛け算の順序を強制してみた。
ここまでしてやっと6×4をバツにできる。
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「平衡状態」を「平衝状熊」って書いた人がいて、漢字違ってるぞって指摘してもどこが違うのか分からないって言われたので閉口状態になった。
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ちなみに「完閉」は厳密には漢文ではなく和製漢語で、「コンパクト」の正式な和訳らしいですが、今はほとんど使われていません。現代中国語では「紧致」と書きます。
スキームを「概型」、レゾルベントを「解素」、ユニモジュラーを「単模」、well-definedを「良定義」と呼ぶのよりも遥かに死語です。
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コンパクト距離空間上の連続写像が一様連続であることを「漢文」で証明してみた
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←大学受験生
大学入学後→
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B「パソコンのメモリー何ギガ？」
A「4GBだよ」
B「ショボいな。俺は1.5TBだぞ」
A「それはストレージだろ」
B「そうじゃない。実は俺、超高性能ロボットで、本当に頭のメモリが1.5TBなんだよ。俺が仕事速いけどめっちゃ大食いなのはそのせいでバッテリー消費が激しいからなんだ」
えっ！？「A」
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