r = √(x^2 + y^2 + z^2)
と表示する。
またこの時
∂r/∂x = x/r, ∂r/∂y = y/r, ∂r/∂z = z/r
である。
これを使うと
f(x,y,z) = r^(-5)(3x^2 - r^2, 3xy, 3xz)
=: r^(-5)(X, Y, Z)
と表示できる。
div f
= ∂/∂x(r^(-5)X) + ∂/∂y(r^(-5)Y) + ∂/∂z(r^(-5)Z)
= X ∂/∂x(r^(-5)) + Y ∂/∂y(r^(-5)) + Z ∂/∂z(r^(-5))
+ r^(-5)(∂X/∂x + ∂Y/∂y + ∂Z/∂z)
= -5r^(-6)(2x^2 - y^2 - z^2)x/r
- 5r^(-6)•3xy•y/r - 5r^(-6)•3xz•z/r
+ r^(-5)(4x + 3x + 3x)
= -5r^(-7)(2x^3 - xy^2 - xz^2 + 3xy^2 + 3xz^2)
+ 10x r^(-5)
= -5r^(-7)(2x^3 + 2xy^2 + 2xz^2)
+ 10x r^(-5)
= -5•2xr^(-5) + 10xr^(-5)
= 0.
rot f
x成分
∂/∂y(r^(-5)Z) - ∂/∂z(r^(-5)Y)
= Z ∂/∂y(r^(-5)) - Y ∂/∂z(r^(-5))
+ r^(-5)(∂Z/∂y - ∂Y/∂z)
= -5r^(-6)(3xz•y/r - 3xy•z/r)
= 0.
y成分
∂/∂z(r^(-5)X) - ∂/∂x(r^(-5)Z)
= X ∂/∂z(r^(-5)) - Z ∂/∂x(r^(-5))
+ r^(-5)(∂X/∂z - ∂Z/∂x)
= -5r^(-6)((2x^2 - y^2 - z^2)•z/r - 3xz•x/r) + r^(-5)(-2z - 3z)
= -5r^(-7)(-(x^2 + y^2 + z^2)•z) - 5zr^(-5)
= 5zr^(-5) - 5zr^(-5)
= 0.
z成分
fはy,zについて対称なので上のy成分の計算で
y→z, z→y
と読み替えればよく、同様にゼロ。
よって
rot f = (0,0,0).
