2012.10.13
無料で自宅でやりなおす→小学校の算数から大学数学までweb上教材をリストにした
先日の記事
誰もがどこかでつまずいた→小学校の算数から大学数学まで126の難所を16種類に分類した 読書猿Classic: between / beyond readers
を読んだ人から「やりなおし魂に火をつけるだけつけて放置するのは無責任だ、何をやればいいのか教えろ」という問い合わせがあった。
小学校の算数レベルから微積分など高校＋αまで、ついている予備テストをやれば、どの章は飛ばしていいか、どこの章のどの問題を勉強すればよいかを教えてくれる往年の名著（が復刻してた）
を紹介しようと思ったが（科学を志さない人にも勧められる）、買い損なった場合と人のために、web上の教材をリストにして、先の記事の補いとする。
（2017.9.6 リンク切れ等、訂正しました）
小学校〜高校
小学校の算数
中学校の数学
高校数学
大学数学基礎
小学校〜高校
小学校「算数科」，中学校・高等学校「数学科」の内容の構成
http://www3.nit.ac.jp/~hiroyasu/appendix/mathcurriculum.html
学習指導要領解説編（小学校 前編 後編，中学校 前編 後編，高等学校）を参考に、日本の各学校（小学校・中学校・高等学校）の算数・数学科目の学習内容を学年（高等学校については科目）・分野毎の表にまとめたもの。
TOSSランド
http://www.tos-land.net/
小１〜高校まで、トピックごとにまとめられた膨大な数の教材・授業案など。
カテゴリー選択で「算数・数学」を選択肢、学年選択を選ぶ。
小学校の算数
文部科学省『教育用コンテンツ開発事業』 算数・数学イメージ動画集
http://www.dainippon-tosho.co.jp/mext/
大日本図書が作成した、小学校の算数から中学校の数学まで不可欠な公式や定理を、約３０秒の動画で視覚的に表現・解説。合計６０クリップ。文部科学省教育コンテンツ事業として制作されたもの。
webでたのしい算数
http://www.dainippon-tosho.co.jp/web_sansuu/menu.html
には、他にもJavaやFlashを用いた、計算の仕組みの理解を助ける動画や計算練習のできるゲームなどがある。
Flashの部屋
http://www.mowmowmow.com/math/flash/index.htm
flashで作成した学年別、テーマ別の１００を超える算数・数学用学習教材。
無料の幼児ゲームと小学生学習ゲーム
http://www.kids-study.net/
算数や他の教科の無料でできる学習ゲームを学年別・科目別にまとめたもの。
さんすうちからだめし
http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/tanosiku/13scd/html/index.html
学年別（小１〜小６）の膨大な数の練習プリント(pdf)。基本問題と発展問題あり。
岐阜県小学校用コンテンツ Ｗｅｂ版 算数
http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/e_sansu.html
岐阜県教育用コンテンツ開発協議会・開発部会の成果を活用した算数ドリルから「生活の中の算数」「算数の道具箱」（画像集）、「高木貞治博士の生涯」「日本の数学の歴史」まで。
あとまあく数学の演習
http://www5a.biglobe.ne.jp/~atmark2/testguide3.htm
小4〜中３。web上で入力、採点できる初級から中級レベルの代表的な自習用演習問題。
中学受験の玉手箱
http://tamatebako.net/
算数解法 (ノウハウ)から5000問をこえる受験算数の問題解説。
中学校の数学
中学数学の基本問題
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/index_m.htm
中学校数学の全トピックについて基本問題を練習できる。
難易度と正答率による理解度によってメニューの色が変わる便利さ。
数学得意な中学生応援します！
http://www.geocities.jp/ynaka23/
数学が得意な中学生のために，最新の入試問題の中から発展問題・難問題をあつめた問題プリント、トピック別多数。
岐阜県中学校用コンテンツ Ｗｅｂ版 数学
http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/j_suugaku.html
岐阜県教育用コンテンツ開発協議会・開発部会の成果を活用した、自動作成型計算プリントから「方程式の解き方」「つまずき解消プログラム」「数学鑑賞館」（画像集）まで。
楽しく学ぶ数学
http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/tanosiku/14tcd/index.htm
中学1〜３年生用のプリント練習問題。
できる数学自習室
http://sakura1.higo.ed.jp/ws/kcmathws/dekiru/zibun2.html
Flashをつかった学年別・トピック別のweb教材。熊本県中学校数学教育研究会提供。
中学数学の達人
http://www.juniorhighschool-math.net/
学年別トピック別の中学数学解説サイト
数学のたまご
http://contest.thinkquest.jp/tqj2002/50027/index.html
中学校の数学の基本を学年別トピック別に解説。別に用語集が用意されている。
中学校数学学習サイト
http://math.005net.com/index.htm
各単元のまとめから練習問題、解説、勉強法、おすすめ問題集の紹介など。
初等数学入門 （旧「こなみせんせの数学教室」）
http://www.math-konami.com/
全２４章＋補講全２２講の中学および高校数学の基礎から発展的内容まで解説。
受験の鉄人 中学数学
http://juken.ironmannet.com/math/juniorhigh/index.htm
無料・登録不要でできる自学自習Eラーニングサイト内の中学数学カテゴリー（一部有料）
小学生用PDF算数ドリル学年別
http://www.sangan.jp/graind.htm
高校数学
高校数学の美しい物語
https://mathtrain.jp
定期試験に出るような問題から数学オリンピックの出題まで丁寧に解説。
美しく見やすいサイト。
基礎からの高校数学 [参考書・問題集データベース]
http://navy.ap.teacup.com/chief/
高校数学勉強方法の紹介、数学参考書の使い方の紹介、高校数学参考書・問題集の特徴の紹介
図説「数学教育」
http://m-ac.jp/me/index_j.phtml?pg=y
元々は学校教員養成コース学生・現職教員対象のサイトだが（なので授業設計や指導法の資料も多い）、分野別トピックごとにまとめられたオンラインブック(pdf)が分かりやすい。左上の「数と量」から「方程式」までの囲みの中の「主題」のところからたどっていける。
数学の散歩道
http://web.archive.org/web/20080113001928/http://www.suzu.or.jp/pub/imai/japanese/start.htm
高校数学の内容をトピックごとに詳説。併せて小中学校の算数・数学の内容についても説明している。元サイトを見失ったのでwebアーカイブから。
『高校数学＋α 』
http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/
高校の数学と大学の数学の橋渡しとして書かれた『高校数学＋α ：基礎と論理の物語』の著者ページ。『高校数学＋α ：基礎と論理の物語』の全文(pdf)＋訂正の他に、姉妹編『出版高校数学＋α：なっとくの線形代数』 ( なか身！かなり拝見 ＋ 訂正表<(_ _)> ）や執筆 準備？メモ of 高校数学＋α：なっとくの微積・解析（ブログ）も。
石黒の大学受験数学入門
http://www.szk-design.com/ishiguro/
整式の計算・因数分解から、教科書の例・例題・章末レベルの問題、さらに大学入試問題の標準レベルに到るまでスモールステップで学べるFlash教材群。
高校数学の自習室
http://lykeion.info/suugaku/
高校数学や大学受験数学のレベルまでヒントや解法、学習法について解説。
高校数学教材ーikemath
http://www.geocities.jp/ikemath/index.html
教科別補充プリントや大学別入試問題、公式集の他にフリーの関数グラフソフト『GRAPES』のページや動画集まで。
青空学園数学科書庫
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/index.html
高校数学の考え方を系統的にまとめた「高校数学の方法第7版」や高校数学とその地続きな周辺を探索し，大学初年級のあたりまで足を運ぶ「数学対話 第4期」、入学試験問題の良問を紹介した「問題研究」別解を考えることで問題の理解も解決の力も飛躍させる「別解研究」、高校数学の土台部分を掘りさげ教育数学を準備する「数論初歩」「解析基礎」など、良質かつ膨大なコンテンツを提供する。
KIT数学ナビゲーション
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/
金沢工業大学が、 新入生に数学の基礎学力を復習させるために開設。カテゴリ分類や公式集、解法のヒント、高校生向けコンテンツなど。
大学入試 数学 電子図書館
http://www.densu.jp/
１５年間の数学過去問解説文書などをおさめたフリーでオープンなライブラリー
高校数学総覧＠受験の月
http://examist.jp/category/mathematics/
「学校では教えてくれない受験のための数学・化学」をまとめたサイト「受験の月」内の高校数学の全パターンの網羅と裏ワザ紹介のコンテンツ。
NHK高校講座
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/
HPで動画を無料で見ることができる
大学数学基礎
高知工科大学 基礎数学ワークブック
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/index.html
数式の書き方や四則演算の約束といった基礎中の基礎から始まり、微分積分を経て大学の基礎数学をカバーするコンテンツ。
Yotaka Lab 数理情報研究室 数学学習教材
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/math.html
「微分積分学入門」「線形代数学入門」「応用数学入門」「ベクトル解析入門」「統計学入門」「確率論入門」「複素関数論入門」のテキスト、演習書、演習問題を提供。
理系インデックス
http://rikei-index.blue.coocan.jp/
大学で学ぶ自然科学に関する標準的な内容をまとめたもの。数学については、数理論理学、集合・位相、代数学、解析学（微分積分）、複素解析、常微分方程式、、線形代数、ベクトル解析、多様体、微分幾何学、位相幾何学、ルベーグ積分・関数解析、確率・統計学、確率論、フーリエ解析、偏微分方程式について、トピックごとにコンパクトに整理されている。
ときわ台学
http://www.f-denshi.com/index.html
理系研究者&学生お助けサイト。数学については、実数解析入門、代数学入門 （群・環・体）、線形代数学入門、ベクトル解析、複素関数論入門、確率・統計入門、微分方程式・特殊関数･波動、ルベーグ積分入門、固有値論入門についてのコンテンツ有。
数学についてのwebノート
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/index.htm
すべての項目に参考文献を明記してある。
算術、論理、集合（集合と数のあいだ、順序集合・代数系）、数、解析学（(0)位相・距離、関数、(1)極限[数列点列/関数]、 (2)連続、(3)微分[1変数/2変数/多変数関数、1変数ベクトル値関数/、多変数ベクトル値関数]、(4)積分）、線形代数。
誰もがどこかでつまずいた→小学校の算数から大学数学まで126の難所を16種類に分類した 読書猿Classic: between / beyond readers
を読んだ人から「やりなおし魂に火をつけるだけつけて放置するのは無責任だ、何をやればいいのか教えろ」という問い合わせがあった。
小学校の算数レベルから微積分など高校＋αまで、ついている予備テストをやれば、どの章は飛ばしていいか、どこの章のどの問題を勉強すればよいかを教えてくれる往年の名著（が復刻してた）
 | 科学を志す人のための基礎数学 (2010/01) クルグラーク、ムーア 他 商品詳細を見る |
を紹介しようと思ったが（科学を志さない人にも勧められる）、買い損なった場合と人のために、web上の教材をリストにして、先の記事の補いとする。
（2017.9.6 リンク切れ等、訂正しました）
小学校〜高校
小学校の算数
中学校の数学
高校数学
大学数学基礎
小学校〜高校
小学校「算数科」，中学校・高等学校「数学科」の内容の構成
http://www3.nit.ac.jp/~hiroyasu/appendix/mathcurriculum.html
学習指導要領解説編（小学校 前編 後編，中学校 前編 後編，高等学校）を参考に、日本の各学校（小学校・中学校・高等学校）の算数・数学科目の学習内容を学年（高等学校については科目）・分野毎の表にまとめたもの。
TOSSランド
http://www.tos-land.net/
小１〜高校まで、トピックごとにまとめられた膨大な数の教材・授業案など。
カテゴリー選択で「算数・数学」を選択肢、学年選択を選ぶ。
小学校の算数
文部科学省『教育用コンテンツ開発事業』 算数・数学イメージ動画集
http://www.dainippon-tosho.co.jp/mext/
大日本図書が作成した、小学校の算数から中学校の数学まで不可欠な公式や定理を、約３０秒の動画で視覚的に表現・解説。合計６０クリップ。文部科学省教育コンテンツ事業として制作されたもの。
webでたのしい算数
http://www.dainippon-tosho.co.jp/web_sansuu/menu.html
には、他にもJavaやFlashを用いた、計算の仕組みの理解を助ける動画や計算練習のできるゲームなどがある。
Flashの部屋
http://www.mowmowmow.com/math/flash/index.htm
flashで作成した学年別、テーマ別の１００を超える算数・数学用学習教材。
無料の幼児ゲームと小学生学習ゲーム
http://www.kids-study.net/
算数や他の教科の無料でできる学習ゲームを学年別・科目別にまとめたもの。
さんすうちからだめし
http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/tanosiku/13scd/html/index.html
学年別（小１〜小６）の膨大な数の練習プリント(pdf)。基本問題と発展問題あり。
岐阜県小学校用コンテンツ Ｗｅｂ版 算数
http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/e_sansu.html
岐阜県教育用コンテンツ開発協議会・開発部会の成果を活用した算数ドリルから「生活の中の算数」「算数の道具箱」（画像集）、「高木貞治博士の生涯」「日本の数学の歴史」まで。
あとまあく数学の演習
http://www5a.biglobe.ne.jp/~atmark2/testguide3.htm
小4〜中３。web上で入力、採点できる初級から中級レベルの代表的な自習用演習問題。
中学受験の玉手箱
http://tamatebako.net/
算数解法 (ノウハウ)から5000問をこえる受験算数の問題解説。
中学校の数学
中学数学の基本問題
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/index_m.htm
中学校数学の全トピックについて基本問題を練習できる。
難易度と正答率による理解度によってメニューの色が変わる便利さ。
数学得意な中学生応援します！
http://www.geocities.jp/ynaka23/
数学が得意な中学生のために，最新の入試問題の中から発展問題・難問題をあつめた問題プリント、トピック別多数。
岐阜県中学校用コンテンツ Ｗｅｂ版 数学
http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/j_suugaku.html
岐阜県教育用コンテンツ開発協議会・開発部会の成果を活用した、自動作成型計算プリントから「方程式の解き方」「つまずき解消プログラム」「数学鑑賞館」（画像集）まで。
楽しく学ぶ数学
http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/tanosiku/14tcd/index.htm
中学1〜３年生用のプリント練習問題。
できる数学自習室
http://sakura1.higo.ed.jp/ws/kcmathws/dekiru/zibun2.html
Flashをつかった学年別・トピック別のweb教材。熊本県中学校数学教育研究会提供。
中学数学の達人
http://www.juniorhighschool-math.net/
学年別トピック別の中学数学解説サイト
数学のたまご
http://contest.thinkquest.jp/tqj2002/50027/index.html
中学校の数学の基本を学年別トピック別に解説。別に用語集が用意されている。
中学校数学学習サイト
http://math.005net.com/index.htm
各単元のまとめから練習問題、解説、勉強法、おすすめ問題集の紹介など。
初等数学入門 （旧「こなみせんせの数学教室」）
http://www.math-konami.com/
全２４章＋補講全２２講の中学および高校数学の基礎から発展的内容まで解説。
受験の鉄人 中学数学
http://juken.ironmannet.com/math/juniorhigh/index.htm
無料・登録不要でできる自学自習Eラーニングサイト内の中学数学カテゴリー（一部有料）
小学生用PDF算数ドリル学年別
http://www.sangan.jp/graind.htm
高校数学
高校数学の美しい物語
https://mathtrain.jp
定期試験に出るような問題から数学オリンピックの出題まで丁寧に解説。
美しく見やすいサイト。
基礎からの高校数学 [参考書・問題集データベース]
http://navy.ap.teacup.com/chief/
高校数学勉強方法の紹介、数学参考書の使い方の紹介、高校数学参考書・問題集の特徴の紹介
図説「数学教育」
http://m-ac.jp/me/index_j.phtml?pg=y
元々は学校教員養成コース学生・現職教員対象のサイトだが（なので授業設計や指導法の資料も多い）、分野別トピックごとにまとめられたオンラインブック(pdf)が分かりやすい。左上の「数と量」から「方程式」までの囲みの中の「主題」のところからたどっていける。
数学の散歩道
http://web.archive.org/web/20080113001928/http://www.suzu.or.jp/pub/imai/japanese/start.htm
高校数学の内容をトピックごとに詳説。併せて小中学校の算数・数学の内容についても説明している。元サイトを見失ったのでwebアーカイブから。
『高校数学＋α 』
http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/
高校の数学と大学の数学の橋渡しとして書かれた『高校数学＋α ：基礎と論理の物語』の著者ページ。『高校数学＋α ：基礎と論理の物語』の全文(pdf)＋訂正の他に、姉妹編『出版高校数学＋α：なっとくの線形代数』 ( なか身！かなり拝見 ＋ 訂正表<(_ _)> ）や執筆 準備？メモ of 高校数学＋α：なっとくの微積・解析（ブログ）も。
石黒の大学受験数学入門
http://www.szk-design.com/ishiguro/
整式の計算・因数分解から、教科書の例・例題・章末レベルの問題、さらに大学入試問題の標準レベルに到るまでスモールステップで学べるFlash教材群。
高校数学の自習室
http://lykeion.info/suugaku/
高校数学や大学受験数学のレベルまでヒントや解法、学習法について解説。
高校数学教材ーikemath
http://www.geocities.jp/ikemath/index.html
教科別補充プリントや大学別入試問題、公式集の他にフリーの関数グラフソフト『GRAPES』のページや動画集まで。
青空学園数学科書庫
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/index.html
高校数学の考え方を系統的にまとめた「高校数学の方法第7版」や高校数学とその地続きな周辺を探索し，大学初年級のあたりまで足を運ぶ「数学対話 第4期」、入学試験問題の良問を紹介した「問題研究」別解を考えることで問題の理解も解決の力も飛躍させる「別解研究」、高校数学の土台部分を掘りさげ教育数学を準備する「数論初歩」「解析基礎」など、良質かつ膨大なコンテンツを提供する。
KIT数学ナビゲーション
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/
金沢工業大学が、 新入生に数学の基礎学力を復習させるために開設。カテゴリ分類や公式集、解法のヒント、高校生向けコンテンツなど。
大学入試 数学 電子図書館
http://www.densu.jp/
１５年間の数学過去問解説文書などをおさめたフリーでオープンなライブラリー
高校数学総覧＠受験の月
http://examist.jp/category/mathematics/
「学校では教えてくれない受験のための数学・化学」をまとめたサイト「受験の月」内の高校数学の全パターンの網羅と裏ワザ紹介のコンテンツ。
NHK高校講座
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/
HPで動画を無料で見ることができる
大学数学基礎
高知工科大学 基礎数学ワークブック
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/index.html
数式の書き方や四則演算の約束といった基礎中の基礎から始まり、微分積分を経て大学の基礎数学をカバーするコンテンツ。
Yotaka Lab 数理情報研究室 数学学習教材
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/math.html
「微分積分学入門」「線形代数学入門」「応用数学入門」「ベクトル解析入門」「統計学入門」「確率論入門」「複素関数論入門」のテキスト、演習書、演習問題を提供。
理系インデックス
http://rikei-index.blue.coocan.jp/
大学で学ぶ自然科学に関する標準的な内容をまとめたもの。数学については、数理論理学、集合・位相、代数学、解析学（微分積分）、複素解析、常微分方程式、、線形代数、ベクトル解析、多様体、微分幾何学、位相幾何学、ルベーグ積分・関数解析、確率・統計学、確率論、フーリエ解析、偏微分方程式について、トピックごとにコンパクトに整理されている。
ときわ台学
http://www.f-denshi.com/index.html
理系研究者&学生お助けサイト。数学については、実数解析入門、代数学入門 （群・環・体）、線形代数学入門、ベクトル解析、複素関数論入門、確率・統計入門、微分方程式・特殊関数･波動、ルベーグ積分入門、固有値論入門についてのコンテンツ有。
数学についてのwebノート
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/index.htm
すべての項目に参考文献を明記してある。
算術、論理、集合（集合と数のあいだ、順序集合・代数系）、数、解析学（(0)位相・距離、関数、(1)極限[数列点列/関数]、 (2)連続、(3)微分[1変数/2変数/多変数関数、1変数ベクトル値関数/、多変数ベクトル値関数]、(4)積分）、線形代数。
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2012.10.10
誰もがどこかでつまずいた→小学校の算数から大学数学まで126の難所を16種類に分類した
数学嫌いはどこから生まれてくるのか？
よく聞かれる「役に立たないから」なる理由は、実のところ良くて後付け悪くて言い訳であって、その実態は、算数や数学につまずいて分からなくなった人たちが、イソップ寓話のキツネよろしく「あのブドウ（数学）は酸っぱい（役に立たない）」と言い広めているのである。
ならば撃つべきは〈算数・数学のつまずき〉である。
以下に示すのは、小学校の算数から大学基礎レベルの数学まで、「つまずいて分からなくなる」箇所を集めて１６のカテゴリーに分類したものである。
一度もつまずかず専門レベルまで一気に駆け上がることのできた一握りの天才を除けば、数学が得意な人も不得意な人もみなどこかでつまずいたであろう、さまざまな算数・数学の難所が挙げられている。
この分類が示そうとしていることのひとつは、同じ〈根っこ〉をもったつまずきが、小・中・高・大の各レベルで繰り返し出現することである。
たとえば、「すべての」と「ある～／～が存在する」をうまく理解できないことは、中学レベルでは方程式と恒等式の混乱を招き、大学レベルではε-δ論法やコンパクト性の理解を困難にする。
異なるレベルとトピックを貫く〈つまずきの根っこ〉は、算数・数学の各分野・トピック間にある切り離し難い結びつきを教え、また数学理解の枢要を、つまり何をちゃんと理解しておかないと同じことでつまずいてしまうかを示している。
善用すれば、この分類は、学習者が算数・数学の何につまずいているのか理解する手がかりを与え、そこから立ち直る方策を探る一助となるだろう。またこれからつまずくであろう箇所を予測・予防することにも役立つ。
それらに加えて、数学が得意か苦手か、そのいずれかしかないかのような単純化された二分法、「１００じゃなければゼロ」思考に陥る認知の歪みに気付かせ、「自分自身に対する個人攻撃（私に才能が無いから数学が分からないのだ）」を踏みとどまる助けになるかもしれない。
それらはまた、数学に対する我々の孤独な格闘が（そしてその挫折やあきらめが）また、数学を学んだり壁にぶち当たっている他の人たちの奮戦と、繋がり合っていることをも示している。
算数・数学につまずいたのは私ひとりではない。
同じトピックを学んでいる同世代のライバルばかりでなく、もっと高度な数学に挑んでいる人たちも、もっと初歩的な算数に取り組んでいる人たちも、同じような間違いをし、同種の困難に立ちふさがれ、しかしそれを乗り越えようとしているのだ。Lonesome No More!!
出典を述べるのが後になった。
この分類は、芳沢光雄(2006)「算数・数学つまずきの分類」『数学教育』88(3), pp.24-28. に提示されたリストを、１６のカテゴリー×レベル（小学校、中学校、高等学校、大学基礎）の表に並べ替えたものである。算数・数学に関する７００ちかくの〈つまずき〉を収集し、それぞれのレベルで高度すぎるものや単純ミスを除き、同種のものをまとめて１２６の〈つまずき〉を選び出している。
なお数学教育者向けに書かれたこの論考は、算数・数学の学習者には必ずしも分かりやすくないので、同じテーマに関して一般向けに書かれた同氏の『算数・数学が得意になる本』『ぼくも算数が苦手だった』（以上、講談社現代新書）、『つまずき対策講座 教科書以前の大学数学常識』（講談社）を参照して表現を一部補ったり書き換えた（なので原文を記事の最後につけた）。
これらの書には、それぞれの〈つまづき〉にどう対処すればいいかも書いてあるが、それについては改めて。
また分かりやすいかもと思って、各項目に「【難】理解が難しい、納得し難い」「【誤】間違いがち、間違って理解しがち」の別を付け加えたが、余計なお世話かもしれない。
よく聞かれる「役に立たないから」なる理由は、実のところ良くて後付け悪くて言い訳であって、その実態は、算数や数学につまずいて分からなくなった人たちが、イソップ寓話のキツネよろしく「あのブドウ（数学）は酸っぱい（役に立たない）」と言い広めているのである。
ならば撃つべきは〈算数・数学のつまずき〉である。
以下に示すのは、小学校の算数から大学基礎レベルの数学まで、「つまずいて分からなくなる」箇所を集めて１６のカテゴリーに分類したものである。
一度もつまずかず専門レベルまで一気に駆け上がることのできた一握りの天才を除けば、数学が得意な人も不得意な人もみなどこかでつまずいたであろう、さまざまな算数・数学の難所が挙げられている。
この分類が示そうとしていることのひとつは、同じ〈根っこ〉をもったつまずきが、小・中・高・大の各レベルで繰り返し出現することである。
たとえば、「すべての」と「ある～／～が存在する」をうまく理解できないことは、中学レベルでは方程式と恒等式の混乱を招き、大学レベルではε-δ論法やコンパクト性の理解を困難にする。
異なるレベルとトピックを貫く〈つまずきの根っこ〉は、算数・数学の各分野・トピック間にある切り離し難い結びつきを教え、また数学理解の枢要を、つまり何をちゃんと理解しておかないと同じことでつまずいてしまうかを示している。
善用すれば、この分類は、学習者が算数・数学の何につまずいているのか理解する手がかりを与え、そこから立ち直る方策を探る一助となるだろう。またこれからつまずくであろう箇所を予測・予防することにも役立つ。
それらに加えて、数学が得意か苦手か、そのいずれかしかないかのような単純化された二分法、「１００じゃなければゼロ」思考に陥る認知の歪みに気付かせ、「自分自身に対する個人攻撃（私に才能が無いから数学が分からないのだ）」を踏みとどまる助けになるかもしれない。
それらはまた、数学に対する我々の孤独な格闘が（そしてその挫折やあきらめが）また、数学を学んだり壁にぶち当たっている他の人たちの奮戦と、繋がり合っていることをも示している。
算数・数学につまずいたのは私ひとりではない。
同じトピックを学んでいる同世代のライバルばかりでなく、もっと高度な数学に挑んでいる人たちも、もっと初歩的な算数に取り組んでいる人たちも、同じような間違いをし、同種の困難に立ちふさがれ、しかしそれを乗り越えようとしているのだ。Lonesome No More!!
出典を述べるのが後になった。
この分類は、芳沢光雄(2006)「算数・数学つまずきの分類」『数学教育』88(3), pp.24-28. に提示されたリストを、１６のカテゴリー×レベル（小学校、中学校、高等学校、大学基礎）の表に並べ替えたものである。算数・数学に関する７００ちかくの〈つまずき〉を収集し、それぞれのレベルで高度すぎるものや単純ミスを除き、同種のものをまとめて１２６の〈つまずき〉を選び出している。
なお数学教育者向けに書かれたこの論考は、算数・数学の学習者には必ずしも分かりやすくないので、同じテーマに関して一般向けに書かれた同氏の『算数・数学が得意になる本』『ぼくも算数が苦手だった』（以上、講談社現代新書）、『つまずき対策講座 教科書以前の大学数学常識』（講談社）を参照して表現を一部補ったり書き換えた（なので原文を記事の最後につけた）。
これらの書には、それぞれの〈つまづき〉にどう対処すればいいかも書いてあるが、それについては改めて。
また分かりやすいかもと思って、各項目に「【難】理解が難しい、納得し難い」「【誤】間違いがち、間違って理解しがち」の別を付け加えたが、余計なお世話かもしれない。
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2012.10.03
100の職業でどんな数学を使うのか１枚の表にまとめてみた
前回の記事で「誰が、どんな数学を、どのように使っているか」の表がクリックしても大きくならない、見えない、見たい、なんとかしろ、という話があったので、それを。
Hal Saundersの書物When Are We Ever Gonna Have to Use This?にある
「100の職業人に聞きました、あなたが仕事で使う数学はどんなん？」をまとめた表をそのままスキャンして貼り付けるのもどうかと思ったので、これを元に、より多くの数学のスキル／知識を使う職業から順にソートして並べてみた。
Saundersは、職業人に使われている数学を60のトピックにまとめているが、これについても、より多くの職業で使われるものから順に並べた。
（クリックで拡大）
元のデータをgoogle spreadsheetにアップロードしました（2017.12.31）
元々この本は、教科書に頻出するあまりに非現実的な応用問題と、それにしらけている生徒と、それを見ないことにしている教師とに耐えかねた著者が、教室を飛び出し、働いている人が実際に使っている数学は何なのかを聞き出すべくインタビューを繰り返してつくったものである。
この本のほとんどのページは、本のタイトルに掲げられた「こんなものいつ使うんだよ？」という、繰り返し生徒から湧き上がる質問への解答として、職業人のインタビューから抜粋された何百もの使用例（具体的な数値入り）で埋められている。
この書の教育的目的は以上のとおり明らかだが、あらゆる道具が悪用可能なように（｢人類が作ってきたものというのは全て武器なんですね｡例えばアイロンで人を殺すこともできるわけです｣(豊田有恒)）、この表ももちろん、作られたのとは別の用途に用いることもできる。
たとえば「ぼくはディスク・ジョッキーになるつもりだから、暗算とコンピュータだけでいいんだ」と方程式を勉強しない言い訳をこの表から調達することだってできる。
しかしこの表は職業生活における数学の利用実態を示しているが、その職に就くために必要な数学を網羅してはいない。
わかりやすい例で言うなら、医者（内科医）は毎日の医療行為に微分積分を必要としないが、医者になる過程で、たとえば入学試験をパスするために、微分積分の問題が解くことが必要になる。
加えていえば、Saundersが注記するように、同じ職業でもそれに就く個人の数学のレベルは様々である。
たとえば、もともと数学の得意な弁護士は、テクノロジー関連の仕事をより多く引き受けるかもしれず、そうなれば数学の苦手な弁護士よりも、仕事に使う数学に挙げられるものが多くなるだろう。
こうして同じ職業でも、数学の利用の程度や必要の度合いは異ってくるだろうから、よく使う職業／よく使われる数学の順序は、参考程度というべきだろう。職業同士を比較して（銀行のCEOよりプロゴルファーが上だとか）上だ下だと一喜一憂するのは論外である。
最後にもう一つ。
この表はまた、実用一辺倒で数学を学ぶ必要を説得しようという目論見の射程の短さをも示している。
見る人によっては「こんなにもたくさんの数学が必要なのか」と感じるかも知れないが、現代社会で役に立っている数学の広がりからすれば、この表に登場する数学はあまりにも狭く小さい。
分業の結果、我々は互いに依存しあう関係を個人的には掌握できないまでに広げることで、信じられないほど多くの営為を知らない他人にやってもらっている。
つまるところ、この程度の数学で飯が食えて、なおかつ文明が維持できるのは、たくさんの誰かが私の知らないところで、代わりに数学していてくれるからである。
なお、Saundersのインタビューはこんな小さな本では十分盛り込めなかったらしく、実用例からの練習問題が全体の半分を占める数学の教科書（新しい版は８６０ページもある）を作っている。下の本がそれ。
Hal Saundersの書物When Are We Ever Gonna Have to Use This?にある
 | When Are We Ever Gonna Have to Use This? (1996/01) Hal Saunders 商品詳細を見る |
「100の職業人に聞きました、あなたが仕事で使う数学はどんなん？」をまとめた表をそのままスキャンして貼り付けるのもどうかと思ったので、これを元に、より多くの数学のスキル／知識を使う職業から順にソートして並べてみた。
Saundersは、職業人に使われている数学を60のトピックにまとめているが、これについても、より多くの職業で使われるものから順に並べた。
（クリックで拡大）
元のデータをgoogle spreadsheetにアップロードしました（2017.12.31）
元々この本は、教科書に頻出するあまりに非現実的な応用問題と、それにしらけている生徒と、それを見ないことにしている教師とに耐えかねた著者が、教室を飛び出し、働いている人が実際に使っている数学は何なのかを聞き出すべくインタビューを繰り返してつくったものである。
この本のほとんどのページは、本のタイトルに掲げられた「こんなものいつ使うんだよ？」という、繰り返し生徒から湧き上がる質問への解答として、職業人のインタビューから抜粋された何百もの使用例（具体的な数値入り）で埋められている。
この書の教育的目的は以上のとおり明らかだが、あらゆる道具が悪用可能なように（｢人類が作ってきたものというのは全て武器なんですね｡例えばアイロンで人を殺すこともできるわけです｣(豊田有恒)）、この表ももちろん、作られたのとは別の用途に用いることもできる。
たとえば「ぼくはディスク・ジョッキーになるつもりだから、暗算とコンピュータだけでいいんだ」と方程式を勉強しない言い訳をこの表から調達することだってできる。
しかしこの表は職業生活における数学の利用実態を示しているが、その職に就くために必要な数学を網羅してはいない。
わかりやすい例で言うなら、医者（内科医）は毎日の医療行為に微分積分を必要としないが、医者になる過程で、たとえば入学試験をパスするために、微分積分の問題が解くことが必要になる。
加えていえば、Saundersが注記するように、同じ職業でもそれに就く個人の数学のレベルは様々である。
たとえば、もともと数学の得意な弁護士は、テクノロジー関連の仕事をより多く引き受けるかもしれず、そうなれば数学の苦手な弁護士よりも、仕事に使う数学に挙げられるものが多くなるだろう。
こうして同じ職業でも、数学の利用の程度や必要の度合いは異ってくるだろうから、よく使う職業／よく使われる数学の順序は、参考程度というべきだろう。職業同士を比較して（銀行のCEOよりプロゴルファーが上だとか）上だ下だと一喜一憂するのは論外である。
最後にもう一つ。
この表はまた、実用一辺倒で数学を学ぶ必要を説得しようという目論見の射程の短さをも示している。
見る人によっては「こんなにもたくさんの数学が必要なのか」と感じるかも知れないが、現代社会で役に立っている数学の広がりからすれば、この表に登場する数学はあまりにも狭く小さい。
分業の結果、我々は互いに依存しあう関係を個人的には掌握できないまでに広げることで、信じられないほど多くの営為を知らない他人にやってもらっている。
つまるところ、この程度の数学で飯が食えて、なおかつ文明が維持できるのは、たくさんの誰かが私の知らないところで、代わりに数学していてくれるからである。
なお、Saundersのインタビューはこんな小さな本では十分盛り込めなかったらしく、実用例からの練習問題が全体の半分を占める数学の教科書（新しい版は８６０ページもある）を作っている。下の本がそれ。
 | Mathematics for the Trades: A Guided Approach (2010/01/03) Robert A. Carman Emeritus、Hal M. Saunders 他 商品詳細を見る |
