円に内接する四角形ABCDがあり、AB=4,BC=3,CD=5,DA=6とする。このとき、sin∠BADと四角形ABCDの面積を求めよ。 高校の数IAで、それほど難しくない問題の筈なのですが解りません。 過程も教えて頂けると助かります。
円に内接する四角形ABCDがあり、AB=4,BC=3,CD=5,DA=6とする。このとき、sin∠BADと四角形ABCDの面積を求めよ。 高校の数IAで、それほど難しくない問題の筈なのですが解りません。 過程も教えて頂けると助かります。
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ベストアンサー
下記が分かりやすいです.辺とか頂点の取り方が違いますけど. http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle3.htm 式に入れたら, sin∠BAD = (12√10)/39 面積ABCD=6√10 と出ました. 「ブラマグプタの公式」というのは知りませんでした. ヘロンの公式は有名ですけど. http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%86%86 http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/cir101.htm ・円に内接する四角形の対角の和は180度 ・余弦定理 ・三角形の面積=ab(sinA) <- なんて名前か忘れました. を使って導けるようです. ちょっと,上記のサイトの式をなぞって見ます. 角度と辺の名前の取り方が違うので, 一致はしませんが,意味は同じです. まず,円に内接する四角形の条件から, A + C = 180° (面倒なので,∠BAD=A としてます.) よって,sinA=sinC なぜなら,sin(C)=sin(180°-A)=sin180°cos(-A)+cos180°sin(-A) = 0*cos(-A) + (-1)*(-sinA)=sinA つぎに,四角形の対角線を共有する辺AB,辺DAと辺BC,辺CDについて余弦定理 辺AB->a 辺BC->b 辺CD->c 辺DA->d とすると, a^2+d^2-2ad(cosA) = b^2+c^2-2bc(cosC) A + C = 180°より, cosC=-cosA a^2+d^2-2ad(cosA) = b^2+c^2-2bc(cosC) 2(ad+bc)cosA=-a^2-d^2+b^2+c^2 cosA = (-a^2-d^2+b^2+c^2)/(2(ad+bc)) (sinA)^2 = 1-(cosA)^2より, (sinA)^2 = 1-(cosA)^2 = (1+cosA)( 1-cosA) ={(2(ad+bc) -a^2-d^2+b^2+c^2)/(2(ad+bc))}{(2(ad+bc) +a^2+d^2-b^2-c^2)/(2(ad+bc))} ={((b+c)^2-(a-d)^2)/2(ad+bc)}{((a+d)^2-(b-c)^2)/2(ad+bc)} =(a+b+c-d)(-a+b+c+d)(a+b-c+d)(a-b+c+d))/(4(ad+bc)^2) 上では,(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)の関係使ってます. 結局, (sinA)^2 = (a+b+c-d)(-a+b+c+d)(a+b-c+d)(a-b+c+d))/(4(ad+bc)^2) s=(a+b+c+d)/2 とおくと, (sinA)^2 =(2s-2d)(2s-2a)(2s-2c)(2s-2b)/(4(ad+bc)^2) (sinA)^2 =4(s-d)(s-a)(s-c)(s-b)/(ad+bc)^2 sinA=(2√{(s-d)(s-a)(s-c)(s-b)})/(ad+bc) sin∠BAD = sinA s=(4+3+5+6)/2=9 ad+bc=4*6+3*5=24+15=39 sin∠BAD = sinA =(2√{(s-d)(s-a)(s-c)(s-b)})/(ad+bc)=2*{√(9-6)(9-4)(9-5)(9-3)}/39=2{√(3*5*4*6)}/39 =2(√360)/39=(12√10)/39=(4√10)/13 sin∠BAD = (4√10)/13 三角形の面積の式より, 四角形の面積をSとすると, 2S=ad(sinA)+bc(sinC) A + C = 180° (面倒なので,∠BAD=A としてます.) よって,sinA=sinC 2S=(ad+bc)(sinA) = (2√{(s-d)(s-a)(s-c)(s-b)}) よって, S = √{(s-d)(s-a)(s-c)(s-b)}) ここで,s=(a+b+c+d)/2 S=√{(s-d)(s-a)(s-c)(s-b)})={√(9-6)(9-4)(9-5)(9-3)}={√(3*5*4*6)} =√360 =6√10
質問者からのお礼コメント
私も「ブラマグプタの公式」は初めて知りました。 詳しい回答をありがとうございます、よく解りました。
お礼日時:2007/12/15 17:03