いままで何気なく剰余演算, 例えば 5.5 % 2.0 == 1.5 を書いてましたが, 実は結構危うかったので報告します. 本記事の内容は全部 wikipedia に載っているんですけどね.

剰余演算

2 つの正の数 x$x$, l$l$ (整数でも整数でなくてもよい) が与えられたとき

を満たす非負の整数 n$n$ と実数 r∈[0,l)$r\in [0,l)$ が一意に存在します. そこで n$n$ を 商 (quotient), r$r$ を 剰余 (remainder) と呼び, r$r$ を x%l$x\mathrm{\%}l$ と書きます. また, 等式

において x$x$ を 被除数 (dividend), l$l$ を 除数 (divisor) と呼びます. ここまでは人類の常識ですね.

問題は, x$x$ または l$l$ が負の数を取り得るように剰余演算を拡張する際に生じます. つまり, 2 つのゼロでない数 x$x$, l$l$ が与えられたとき, やはり n∈Z$n\in \mathbb{Z}$ および適当な区間 I$I$ に含まれる r$r$ を用いる一意的な表示

が存在しますが, 「適当な区間」I$I$ つまり剰余 r$r$ の取り得る範囲はどのように設定すべきでしょうか?

この問題に対する考えられる解答としては次の 4 パターンがあり得ます.

• 常に正: r∈[0,|l|)$r\in [0,|l|)$.
• 除数と同符号: l>0$l>0$ のとき r∈[0,l)$r\in [0,l)$, l<0$l<0$ のとき r∈(l,0]$r\in (l,0]$.
• 被除数と同符号: x>0$x>0$ のとき r∈[0,|l|)$r\in [0,|l|)$, x<0$x<0$ のとき x∈(−|l|,0]$x\in (-|l|,0]$.
• 0 に近い側: r∈(−|l|/2,|l|/2]$r\in (-|l|/2,|l|/2]$.

どの選択肢を採用するかは純粋に定義/仕様の問題です. そして困ったことに, 言語ごとに仕様が異なるのです.

整数型の場合

% 演算子として提供される整数剰余演算は, 多くの言語で 被除数と同符号 が採用されています. これには C/C++, Go, Java, JavaScript, Julia, OCaml, PHP, Rust などが含まれます. Fortran の mod 関数もそうです. しかし, そうでない言語も多くあります:

• 除数と同符号: Lua, Mathematica, Python, Ruby など.
• Lisp, Prolog, Haskell, Julia: これらの言語はいずれも mod が除数と同符号, rem が被除数と同符号の演算になっています. なお Julia では % は rem の意味です.

そう, Python/Ruby と C/C++/Julia/Rust で仕様が違う のです. さらに言うと, これに伴って 除算の結果 (上の記法では整数 n$n$) も両グループ間で一致しないということになります. なぜならば, (整数の場合) 商 n=x/l$n=x/l$ とは x=nl+r$x=nl+r$ を満たす整数 n$n$ ですから, 剰余 r$r$ が違えば商 n$n$ も変わります. 実際, Python では -3//2 == -2, C/C++/Rust 等では -3/2 == -1 になります.

浮動小数点数の場合

浮動小数点数に対しても演算子 % が定義されている言語は限られていますが Rust と Python, Julia ではちゃんと定義されていて, 整数型のときと同じ仕様になっています. なお C/C++ は fmod/std::fmod 関数がこの機能を提供します.

補足

• Python の math.fmod 関数は 被除数と同符号 な剰余演算を提供します.
• Ruby の Numeric#remainder 関数は 被除数と同符号 な剰余演算を提供します. (コメントに基づいて追記 2019-09-15)
• Fortran の mod 関数は 被除数と同符号, modulo は 除数と同符号 な剰余演算を提供します. (コメントに基づいて追記 2019-09-15)
• ゼロによる剰余 (x%0$x\mathrm{\%}0$) はゼロ除算と同じく定義されません. Rust で検証したところ, コンパイラが気づいたらコンパイルが通らず, 通ってしまった場合, 整数ならパニックし, 浮動小数点数なら NaN になりました. Python では整数/浮動小数点数どちらもエラーになります.

参考文献

• 剰余演算 - Wikipedia
• 先行研究その1: C++における負の整数の割り算および余りについて
• 先行研究その2: 余り(剰余)の性質をプログラムに活かす
• 先行研究その3: 負数の剰余を計算してはならない