数学科の大学生　カージオイドの日記

2019/08/22

九州大数理学府の院試

　先日九州大学数理学府の院試を受けてきた。すでに名古屋大には合格していたので翌年無所属になる不安からは解放されたが、こっちに合格しないと自分がやりたい数学ができなくなるのでそういう意味でまた別の不安があった。

　九大の試験に向けた対策は過去問を3年、5年分くらい解いただけで、それ以前に名古屋大の勉強で微積と線形代数はある程度やっていたので、専門の問題（自分の場合は代数）を中心にやった。

　試験はまず初日に筆記試験。午前に基礎科目と称した線形代数と微積を2問ずつ、午後は専門科目の試験でおおよそ代数、幾何、解析、その他(?)から2つ選択して解くという流れになっている。午前の試験はまず直交行列で対角化する問題で、さっそくシュミットの直交化のやり方を忘れてめちゃめちゃ焦った。残りの線形代数と微積の問題も難しくてあまりできなかった。結局シュミットの直交化は思い出して（というかベクトルが直交するように試行錯誤した）できたが、名古屋大の午前と比べても全然解けなくてまずいなぁと思った。午後の専門の試験は、問題を見ると群論は表現論っぽいなぁと思い、（時間をかけても完答できそうになかったので）即捨てて、環論と体論（っぽい）の問題に絞った。が、こっちもなかなか解けなくて、いったん複素関数論の問題に逃げようとしたけどこれも無理そうだったので、環論と体論に全時間を捧げることにした。昼にコーヒーを飲み過ぎて2回もトイレに行ったりとバタバタして、結局どちらとも半分くらいしか解けなかった。（しかも体論は後から嘘の議論を重ねてしまったことがわかり、かなりまずいことになっっていた）

　翌日の口頭試問は、数グループに分けられて僕は7人中6番目だった。最初の方の人はは10分15分くらいでスムーズに進んでいたが、僕の一つ前の人が行っていよいよか～と緊張していたのだが15分たっても呼ばれず、30分たっても呼ばれず・・・。他のグループはほとんど試問がおわってしまっていた。そして1時間後やっと自分の番になった。最初に事務的な質問の後、前日の試験の話になった。「今だったら解けるという問題はありますか？」と聞かれ、専門の３（体論の問題）と答えた。で、ときなおすのかなと思いきや、「君の答案には～～って書いてあるけどそれは何でですか？」と聞かれ、それを説明することに。一応ちゃんと説明したのだが、試験官「きみフェルマーの小定理って知らないの？」僕「知りません。」(フェルマーの小定理を直接適用するだけの話だったのだが、(整数論やりたいにも関わらず)フェルマーの小定理そんな名前の定理あったっけなぁくらいにしか記憶していなかった。恥ずかしい。。)

試験管「では君は試験中はそれは明らかだから書かなかったんですね？」僕「（これを明らかというのはあんまりだけど）おそらくなり立つと思ったのと時間を気にして焦っていたので。」
そして話が変わり、「では君が興味をもって勉強していることを話してください。」といわれ、セミナーでやっている楕円曲線について話した。ワイエルシュトラス方程式を書いてから、何をしゃべろうか迷った。前期のセミナーが中途半端なところで終わってしまい、ハッセの定理やヴェイユ予想、モーデルヴェイユの定理までたどり着けなくて、面白いことないよ。というのが本音だったので言葉に詰まった。それで私「有限体上の楕円曲線のハッセの定理というのがあって、正確な主張は忘れたんですけど位数が有限個で抑えられます。（式を苦し紛れに書く）」が、面接官の反応がどうもあまり良くなかった。で、面接官「その式の何が面白いとか、なんでその式なのかとか（話すこと）ないですか？」といわれ、「リーマンロッホの定理から種数１の非特異射影曲線はこの式で定義される曲線になります。」と答えてようやくまともな受け答えができた。面接官「その楕円曲線の式は一般化はできないのですか？たとえば4乗がでてくるとか・・・」私「（たしかヤコビ多様体っていうのがあったような。あーでもきちんとした定義知らないからな）分かりません。」ここで謎に有限体上の話に戻り、面接官「君ヴェイユ予想って知ってますか？」私「話として聞いたことはありますが勉強したことはありません。」面接官「何で種数１の曲線を考えるんですか？」私「種数0が一番簡単で、次に簡単なのが１だからだと思います。」面接官「では、種数0の曲線の例は?」僕「種数が0であることの証明は分からないんですけど・・・（といいながら書く）」面接官「ああ、証明は結構です。」私「放物線、楕円、双曲線は種数0です。（それぞれの定義式をかく）」面接官「はい。では直線の種数はいくらですか？」僕「（は？しらねえよ。いやセミナーでなんか聞いたような気もするけど。リーマンロッホの定理からすぐでるかな？）・・・。」面接官「まあそれはいいです（苦笑）。後で考えてみてください。ところで今君aとかb(有理数)とかそこに書いたけど、方程式の有理数解を判定するみたいな話を知っていますか？」私「(黒板に書きながら)Q上の2次形式に関してはハッセ・ミンコウスキの定理といってQ上で解をもつのとQ_p上、R上で解を持つことが同値になります。」面接官「では、そのような解があることの判定はそれでできるとして、もし解があったときに具体的にその解はどう書けるのか、とか一つ解が分かっているときに他の解はどう書けるのかとかいうのは分かりますか？」私「(分からなくて黒板に書いて考えようとする)・・・。」面接官「ああ、分からないですか。まあいいです。う～ん君願書には楕円曲線の群構造って書いてるのに・・・。（苦笑）」私「あっ・・・（吹き出す）」面接官「他に何か聞くことありますかね？（面接官同士で顔を合わせるも特にないらしい）」面接官「では面接は以上です。黒板を消して退出してください。」
　体感では20分、30分かかったかな？という感じだったがこうして書き出すと結構長々しゃべっていたらしい。筆記試験が悪いかつ外部からの受験だから長くなることは覚悟していた。内容的には筆記試験のときなおしより日頃の勉強のことばかり聞かれたのは意外だった。それと、面接は決して高圧的ではなく、面接官の先生方は私が口ごもったり受け答えにオロオロしていると何かしらフォローしてくれたり、私が答えはじめるまで待ってくれたりと私が話しやすいようにしてくれた。あと、私自身が意識したのは分からないことははっきり「分かりません」ということと、できるだけ自分がしゃべれる話題に持ち込むことの二点。

　私の手応えとしては壊滅的、特に筆記試験は絶望的で落ちても文句言えないなと思っていた。面接は上述の通り知ってることだけ話してあとは知りません分かりませんと連呼していただけな気がした。が、結果としては合格だった。精神的に辛かったが、受かったのでよかった。

最後に使った参考書のリンクを並べておく。個人的には名古屋大(多元数理)より九大数理の対策（試験問題が解けるようになるための対策。受かりやすさとは別）の方が難しいと思う。(面接に関しては日頃セミナーでどれだけ訓練しているかが全てだと思う。)

微分積分学講義(野村隆昭)

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九大の微積の講義で使用されている教科書。著者も九大の先生（もう退官されたかも(？)）。受験する大学の講義で使ってある教科書を見てたほうがいいだろうなと思って目を通した。(精読はしていない)ランダウの無限小の記号を積極的に使った方が分かりやすいって本に書いてあった(かな？それか著者がネットにupしてるpdfに書いてあったかも)、それでロピタルの定理よりそちらを積極的に使っているのが印象的だった。収束の早い遅いの感覚(たとえばe^xは多項式関数の収束よりも早いとか)を磨くにはその通りで、良く理解もせずにロピタルの定理を濫用する私は何も言い返せない。

微積と線形代数に関しては名古屋大(多元数理)の対策で使った本をこのほかには利用した。九大は微積と線形、それと専門(代数解析幾何その他(？))で、集合位相と関数論の試験はない。専門の対策(といっても過去問をちょっと解いただけ)で使った本を挙げておく。(以下の本は院試と関係なしに1年かけて精読した。つまり院試の対策のためではなく自分がより専門的なことを勉強するために読んだ。)

体とGalois理論（藤崎源二郎）
（楽天のリンクなかった。アマゾンであるかな？)
かなり分厚くてガロア理論のことはだいたい網羅してある。見た目格調高くて個人的に気に入ってるのだが、(その見かけに反して)説明が丁寧でサラサラ読める。

Introduction to commutative algebra(M.F.Atiyah I.G.Macdonald)
（訳書　可換代数入門　新妻弘）

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環論の本。過去問で根基イデアルの基本的な問題が出ていた(おれの年もこれくらいの難易度にしてくれたらよかったのに・・・。)ので、定義の確認のために見返した。ちなみに京大の代数系(代数幾何、数論の人かな？)志望の人は学部2年でこれを読んでその後ハーツホーンを読むんですってとある先生が言っていた。(後にこれは一部の先を急いで失敗する人達がやっていることだと聞いた・・・。)これを2年生で読むって優秀な人はやっぱり（理解できる能力もこんな味気ない内容を勉強し続ける根性も）すごいなぁと思う。ちなみにハーツホーンとはこれ。

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和訳は三分冊(上のに続いて2,3がある)になっている。原著の方は一冊ですむので、買うなら洋書のほうが持ち運びやすいしまだ安いからいいのでは。しかし和訳には演習問題の解答や日本語の参考文献案内があり使い勝手が良い。(けどそもそもこの本めちゃめちゃ難しいから細かいこと気にしても仕方ないかもしれない)

2019/07/31

名古屋大　多元数理の院試　

　先日名古屋大学多元数理科学研究科の院試を終えて、無事に合格した。ぼくは他大学の大学院しか出願しなかったのでどこの大学にも合格できなかったときのことを考えると不安だった。そこでネットで院試についての体験が書かれたブログを見て参考にしたり、精神安定剤にしたりとお世話になったので、この機会にぼくが体験したことを書いてみようと思う。

試験までの準備

大学院に進学することを意識しだしたのは3年になったくらいからだったかと思う。かといって本格的に院試に合格するための勉強を始めたのは4年の4月に入ってからだった。それまでは自分の好きな数学書を読んだり、講義を受けたりしていた。

4年の4月からは同じく大学院に進むつもりでいた友達と院試対策ゼミを開催した。 毎週多元数理の院試の過去問を（2次募集込みで）1年分解いて、お互いに答えを発表し合い、添削し合った。最初の頃は自力ではほとんど解けなくて本を見直しても分からないこともしょっちゅうでかなりしんどかったが、それでも毎週こなし続けていくうちに7月にはいる頃には半分くらいは参考書を見ずにも超えるようになってきた。また、相方がすごく優秀でよく微積の問題は教えてもらった。

ところで多元数理の院試は線形代数と微積、複素関数論、集合位相の４つ。専門の試験と面接がないのがおいしい。（それで受験したというのもある・・・）ぼくは線形代数は1，2年の時に結構熱心にやっていたので人並みにはできる自信があった。複素関数論は留数定理を使って広義積分を求める問題やローラン展開の主要部を求める問題がしょっちゅう出ていたのでこれもいけるだろう。集合位相は松坂和夫の集合位相入門を2年生の夏休みに読破したということでこちらも人並みにはできるだろうと思っていた。（が年度によってはまったく分からないのもあり、結局問題次第だなあといった感じ。） 微積は高木貞治の解析概論をリーマン積分らへんまで読んでいたが、1年2年の頃だったせいかほとんど何も覚えていない（平均値の定理や微積分の基本定理も良く覚えておらず、コーシー列による級数の収束判定や広義積分の収束判定も満足にできなかった）状態でまずいなといった感じだった。

ついでにいうと、ぼくの代はリーマン積分を微積の講義で習わなかった。（ルベーグ積分の講義を削ってリーマン積分をやるというクソみたいなカリキュラムで、誰とはいわないが某先生が原因）で、ぼくの専門はざっくりいうと代数なので自分でやらざるを得ない状況で余計不安だった。

それで、ゼミと平行して吉田伸生「微分積分」や斎藤正彦の微積の本を読んだりもした。

試験当日

多元数理の院試は毎年7月末頃にあり、他の大学に比べるとだいぶ早くに試験があり、僕が受けた年もそうだった。試験前日は一緒に受けた（先のゼミの）友達とホテルに泊まったが、そいつがはしゃぎまくったせいで満足に寝れなかった。これで落ちてたら彼のことを恨んでいたかもしれない笑

試験当日、雨が降っていて蒸し暑く、嫌な感じがしたが寝不足の割には体調もよかった。（アドレナリンか？）

試験内容

まずは午前の部。１は和空間の次元を求める問題。5本のベクトルでR^4、しかも変数がついてて計算がめっちゃ大変だった。計算用紙にいつもより大きめに文字を書いて、丁寧に計算した。一応(3)まで全部解いたが計算が合ってるか不安だった。2も線形代数、(3)で行列のn乗を求める問題がでて、対角化してn乗を計算すればok。exponentialとかにどーせでてくるんじゃねえのと重っいながら手を動かしていたら案の定で、これできて結構安心した。3からは微積。(1)は広義積分の収束発散の問題。あーやだと思って飛ばして結局手をつけなかった。(相方に聞いたところ2019の処理がポイントだったみたいで不等式が上手いこと評価できるように新たに整数を取り直したらいけるんだと、、試験のあとうるさい輩が解けた～って自慢してて、は。黙れって心の中で思った。)
（2）は極座標変換したらあっさりできた。(3)は色々やったけど解けなくて、ここら辺でちょっと大丈夫かなぁという気がしてた。
4も微積、楕円の中で積分を計算する問題。(2)までは計算が大変だけどただ計算するだけなのでがんばった。(3)で点と直線の距離とかいってて高校でやった気がしたけど、おれは高校で不勉強だったせいで今の大学にいる。つまり高校の知識は持ち合わせていないので捨てた。憶測でてきとーなことを書くのは数学する上で一番好ましくない態度ではないかと思ったから。。

なんだかんだ午前の部は7割くらいはとれているだろうとふんで、となると午後は悪くても半分くらいとれとけば十分受かるだろうと思えて気が楽だった。（トータルで7割ならほぼ確実、5割あたりがボーダーではないかと多元数理の知り合いに聞いた）

午後の部。1は線形代数。(2)までは順調だったが、(3)はすぐに思いつきそうもなかったので飛ばした。2は微積。(2)で微分可能であることを証明するのだが、そこでlimと積分の順序交換が必要だというのは分かったのだが、交換可能な理由が何か分からなくて(1)よりと書いたが的外れだった。ルベーグの収束定理よりっていえばいいのかなぁと友人が教えてくれたが、微積の問題だから他にないのかなぁという気もする・・・。（おれは何も思いついてないから色々主張する資格ないか。）(3)の微分方程式で詰まっちゃって（部分積分というアイディアは正しかったが、微分する関数を逆にしてて答えがだせなかった）いよいよ焦ってきた。
3は複素関数論。(1)で極を求めて(2)でローラン展開の主要部を求めさせる。このあたりから冷静さを保てなくて極をe^πi/+kπ2と的外れなことを書いてしまう始末。ローラン展開もめちゃくちゃで今思えば精神的に追い込まれてたのかなと。途中で立ち上がりたくてトイレにつれてってもらい、極はプラスマイナスi(だったかな)と書き直し、ローラン展開も計算ミスに気づいた。(3)の広義積分は過去問で散々でてたので各項の計算は大丈夫だったが2位の極の場合の留数の定義を忘れてしまい値は間違えた。これで点数どれくらいくれたのかすごく気になる。4は位相の問題。位相といってもユークリッド空間で、閉包の定義を覚えてさえいれば(1)はすぐ分かる。(2)はたぶん成り立つんじゃないかと思うが証明をつけられなかった。（てか今もまだ分からない）。
複素関数論に時間を割きまくって、のこり20分くらいで線形代数の残りを考えた。5分前くらいにAの1の固有空間とBの0の固有空間（というかカーネル）が同型（というか一致、かな？）になることに気づき、あたまの中では解けたのだが書き切れずに時間切れ。

午後の部だけで5割割り込んだからかなりショックで、落ちたんじゃないかすごく不安になった。一方の相方が全問とけたというのも余計刺さった。（その後色々間違いが発覚したらしい。それでも何も書けなかった自分と比べると辛い・・・。）

その後

不安で仕方なかったのだが、最初に述べた通り合格していた。合格発表の数時間前に多元数理に受かった人のブログを読んで、その人よりは確実に点数とれている自信はあったのでやっぱり受かるんじゃね？という思いもあった。
院試はこれでおわりではなく、実は次が本命（指導を受けたい指導教員がいる）なのでまだ院試の勉強は継続するが、多元数理に受かったことで大学院生になれることが確定し、ぼくが他大学受験して本当に受かるのか疑問だったのだが受かるということが分かってよかった。

今からは院試の勉強と大学院に入ってから生きていくための勉強（研究するには知識がまだ足りなさすぎる）を進めたい。もっとやらないとこのままじゃ知識も無い要領も悪いセンスもないでいいところがないので、努力することくらいはやらなきゃなと思う。

最後に使った（現在も使っている）参考書を列挙する。

線形代数

吉野雄二「基礎課程線形代数」（講義で使った教科書）

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斎藤毅「線形代数の世界」（最小多項式について参考にした）

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微積

吉田伸生「微分積分」（名古屋大の先生が書いた本をとりあえず読めば間違いないだろうということで買って級数とかリーマン積分のところを中心につまみ食い的に読んだ。この本で改めて勉強になったことも多くて、この本読んで演習問題が以前より解けるようになった気がする。が、誤植が多くて読むのに疲れることもしばしばあった。早く誰かなんとかしてほしい。笑（おれが読めば良いのだがいかんせん時間が無い）

微分積分 （共立講座 数学探検　1） [ 吉田 伸生 ] 価格:2,640円 (2019/12/16 15:56時点) 感想(0件)

斎藤正彦「微積分」（読みやすかった。1年のときこっち読めば良かった）

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杉浦光夫「解析入門１」(困ったらとりあえずこれで調べてた。どの微積の本もだいたいこれと解析概論を参考に書いてるからとりあえずこれ見るようにしてた)

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複素関数論

岸正倫・藤本担孝「複素関数論」(緑の本。講義の教科書。薄いけど時々定義を確認するために使ったのみで院試のためにはこれで十分だった。)

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集合位相

松坂和夫「集合位相入門」（ぼくはこの本で勉強したのでこれをよく見た。）

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内田伏一「集合と位相」（講義の教科書。時々調べ物するのに使った。）

集合と位相 （数学シリーズ） [ 内田伏一 ] 価格:2,860円 (2019/12/16 15:59時点) 感想(1件)