高校数学の美しい物語

定理：

すべての原始ピタゴラス数は，$\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}$ に対して，3つの行列 $A,B,C$ のどれかをかける操作を何度か繰り返すことで作れる。ただし，

$A=\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}$ ，

$B=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}$ ，$C=\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}$

Popoviciu の不等式：

$f(x)$ が下に凸な関数のとき，任意の $x,y,z$ に対して(※)，

$f(x)+f(y)+f(z)+3f\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)\\ \geq 2\left\{f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)+f\left(\dfrac{y+z}{2}\right)+f\left(\dfrac{z+x}{2}\right)\right\}$

Hlawka’s Inequality：

任意の複素数 $x,\:y,\:z$ に対して，

$|x|+|y|+|z|+|x+y+z|$

$\geq |x+y|+|y+z|+|z+x|$

極座標平面において，図のように $\theta=\alpha,\:\theta=\beta,\:r=r(\theta)$ で囲まれた，$x$ 軸の上側にある図形を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸(始線)の回りに回転させてできる立体の体積は，

$\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^3\sin\theta d\theta$