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無量大数の彼方へ


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子供の頃、算数の教科書で大きい数の単位を知って感動した。日本語は素晴らしいと思ったが、実はこれらは全て中国から来たものだと後に知った。以下は日本語の数の表である。

100
一（いち）		101
十（じゅう）		102
百（ひゃく）		103
千（せん）
100
-		100
一		101
十		102
百		103
千
104
万（まん）		104
一万		105
十万		106
百万		107
千万
108
億（おく）		108
一億		109
十億		1010
百億		1011
千億
1012
兆（ちょう）		1012
一兆		1013
十兆		1014
百兆		1015
千兆
1016
京（けい）		1016
一京		1017
十京		1018
百京		1019
千京
1020
垓（がい）		1020
一垓		1021
十垓		1022
百垓		1023
千垓
1024
𥝱（じょ）		1024
一𥝱		1025
十𥝱		1026
百𥝱		1027
千𥝱
1028
穣（じょう）		1028
一穣		1029
十穣		1030
百穣		1031
千穣
1032
溝（こう）		1032
一溝		1033
十溝		1034
百溝		1035
千溝
1036
澗（かん）		1036
一澗		1037
十澗		1038
百澗		1039
千澗
1040
正（せい）		1040
一正		1041
十正		1042
百正		1043
千正
1044
載（さい）		1044
一載		1045
十載		1046
百載		1047
千載
1048
極（ごく）		1048
一極		1049
十極		1050
百極		1051
千極
1052
恒河沙（ごうがしゃ）		1052
一恒河沙		1053
十恒河沙		1054
百恒河沙		1055
千恒河沙
1056
阿僧祇（あそうぎ）		1056
一阿僧祇		1057
十阿僧祇		1058
百阿僧祇		1059
千阿僧祇
1060
那由他（なゆた）		1060
一那由他		1061
十那由他		1062
百那由他		1063
千那由他
1064
不可思議（ふかしぎ）		1064
一不可思議		1065
十不可思議		1066
百不可思議		1067
千不可思議
1068
無量大数（むりょうたいすう）		1068
一無量大数		1069
十無量大数		1070
百無量大数		1071
千無量大数

すでに後漢の徐岳による数術記遺に、載までの単位が記されている。ただし垓の次は「𥝱（じょ）」ではなく「秭（し）」だった。この違いは後述する。単位の関係は下数、中数、上数という三方式があり、統一されていなかった。下数では、単位を 10 倍すると次の単位になる。中数では、単位を 108 倍すると次の単位になる。上数では、単位を 2 乗すると次の単位になる。一方、前漢代に完成した礼記（らいき）には「兆」を億の 104 倍として使う記述がある。これは数術記遺の中数とは異なる。礼記のように 104 倍すると次の単位になる中数を万進、数術記遺のように 108 倍すると次の単位になる中数を万万進と呼ぶ。以下にそれを示す。

名称数
下数中数（万進）中数（万万進）上数
一100
十101
百102
千103
万104
億105104×2 = 108108×1 = 108104×2 = 108
兆106104×3 = 1012108×2 = 1016104×22 = 1016
京107104×4 = 1016108×3 = 1024104×23 = 1032
垓108104×5 = 1020108×4 = 1032104×24 = 1064
秭109104×6 = 1024108×5 = 1040104×25 = 10128
穣1010104×7 = 1028108×6 = 1048104×26 = 10256
溝1011104×8 = 1032108×7 = 1056104×27 = 10512
澗1012104×9 = 1036108×8 = 1064104×28 = 101024
正1013104×10 = 1040108×9 = 1072104×29 = 102048
載1014104×11 = 1044108×10 = 1080104×210 = 104096

このうち、最も古いのは下数である。一、十、百、千、万と来れば、次に万の十倍の単位を考えるのは自然である。下数の問題は単位が多くなりすぎることだ。あまり使われない単位は理解されない可能性があり、実用に適さない。漢の人口は五千万人を越えており、このような大きな数は抽象的なものではなかったので、理解しやすい方式が必要だった。そのため、万を基準としてそれ以上を十万、百万と呼ぶ方式が自然に生まれてきたと考えられる。

上数では、万万が億、億億が兆、兆兆が京になるように、今までの単位で表現できなくなって初めて新たな単位が導入される。この方式は一見合理的だが、人間には理解しづらく、やはり実用的でない。例えば上数では 1030 が「百万億兆」になる。一方中数は十万、百万で用いたのと同じ方式なので最も理解しやすい。しかし、なぜか万進ではなく万万進が標準的になったので、やや複雑な表現となった。以下に各方式での数の呼び方を示す。

数名称
下数中数（万進）中数（万万進）上数
104万万万万
108垓億億億
1012澗兆万億万億
1016-京兆兆
1020-垓万兆万兆
1024-秭京億兆
1028-穣万京万億兆
1032-溝垓京

十万億土などの仏教用語は、当時一般的だった万万進の中数を用いたものである。十万億は 1013 を意味する。

元の朱世傑による算学啓蒙で初めて、載を超える単位として極、恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思議、無量数（むりょうすう）が加わった。極以外は全て仏教に由来するものだが、元々の数と同じ数を表すわけではない。仏典の中では阿僧祇は那由他より大きいが、中国の数詞としては那由他のほうが大きい。これらの新しい数は中数のみで使われ、下数や上数で使われることはなかった。なお、阿僧祇は「阿僧祗」と書かれることがあるが、正しくない。阿僧祇の元のサンスクリット語（梵語）は asam.khya であり、「祗（し）」ではなく「祇（ぎ）」を使うのが正しい。

その後、万万進の中数と並んで万進の中数も次第に使われ始めた。依然、中数の標準は万万進で、明の程大位による算法統宗では万万進のみを挙げるが、万進のほうが理解しやすいので広まっていったようだ。

日本で大きな数の単位を確立したのは、1627 年に初版が出た吉田光由の塵劫記（じんこうき）である。算法統宗を土台にしているが、単位に違いが見られる。算法統宗は万万進の中数だが、塵劫記初版では下数と万万進の組み合わせ、寛永 8 年版では万進と万万進の組み合わせ、寛永 11 年版では万進のみになる。まとめると以下のようになる。

名称数
算法統宗塵劫記
初版
(1627)		寛永 8 年版
(1631)		寛永 11 年版
(1634)
一100
十101
百102
千103
万104
億108×1 = 108105104×2 = 108
兆108×2 = 1016106104×3 = 1012
京108×3 = 1024107104×4 = 1016
垓108×4 = 1032108104×5 = 1020
秭108×5 = 1040109104×6 = 1024
穣108×6 = 10481010104×7 = 1028
溝108×7 = 10561011104×8 = 1032
澗108×8 = 10641012104×9 = 1036
正108×9 = 10721013104×10 = 1040
載108×10 = 10801014104×11 = 1044
極108×11 = 10881015104×12 = 1048
恒河沙108×12 = 10961015+8 = 1023104×12+8 = 1056104×13 = 1052
阿僧祇108×13 = 101041015+8×2 = 1031104×12+8×2 = 1064104×14 = 1056
那由他108×14 = 101121015+8×3 = 1039104×12+8×3 = 1072104×15 = 1060
不可思議108×15 = 101201015+8×4 = 1047104×12+8×4 = 1080104×16 = 1064
無量大数--104×12+8×5 = 1088104×17 = 1068

寛永 11 年版では万進と万万進の混交を解消し、すっきりした万進の体系を完成させた。以降の版は全て万進で統一されている。今でも寛永 8 年版に基づき極以上を万万進とする説明を見かけるが、現在「十万極」などと使われることはまずないし、寛永 8 年版の位取りは寛永 11 年版で否定されているので、万進を使うべきだ。

算学啓蒙にあった不可思議の上の無量数は、寛永 8 年版から無量大数という名で組み込まれた。たまに無量大数と無限大を混同する人がいるが、両者は全くの別物である。無量大数はあくまで有限の数であり、無限大に比べれば限りなく小さい。1 から無量大数に増えても無限大への距離は全く縮まらない。また「無限大数」という表記を見ることがあるが、そのような言葉はない。

その後、寛永 20 年版から「秭（し）」が誤って「𥝱」と印刷され、読みも「序」や「舒」につられて「じょ」になった。「秭」に含まれる「𠂔」という字は日本では全く使われないため、間違えられたのも無理はない。中国では「姊」という字を使うが、日本では異体字の「姉」を用いる。これと同じように「秭」の代わりに「𥞑」を使うことがあった。今ではむしろ「𥝱（じょ）」が標準的となっている。このほうが「四（し）」と同音衝突しないので良い。

また、無量大数の「無量」と「大数」の間に傷がある版があり、後の版では誤って二数に分離された。この場合、無量が 1068、大数が 1072 を意味する。現在、数の単位の一覧に無量と大数に分けて挙げるものもあるが、単独では無量大数が使われることが圧倒的に多く、分けないほうが一般的である。

結局日本人の功績は、大きい単位を作ったことではなく、簡素な万進の体系を確立したことにある。日本語では万、億、兆、京、垓がそれぞれ 104, 108, 1012, 1016, 1020 を指すことは確実であり、誤解される可能性はない。中国では万進と万万進が統一されることなく近代化が始まったため混乱が生じた。さらに悪いことに、メートル法の mega (106) を訳すとき、適切な語がなかったので、廃れていた下数を使って「兆」を当ててしまった。混乱に輪をかけたのが giga, tera, peta, exa の訳で、mega を「兆」としたのに応じて順番に「京」、「垓」、「秭」、「穣」を当ててしまった。下数、万進の中数、万万進の中数の他にメートル法が加わったわけだ。今日では意訳ではなく音訳が用いられているが、mega の意味の「兆」は定着していたので変えられなかった。

メートル法数中国語日本語
意訳音訳
deca101十-デカ
hecto102百-ヘクト
kilo103千-キロ
mega106兆-メガ
giga109京吉 (吉咖)ギガ
tera1012垓太 (太拉)テラ
peta1015秭拍 (拍它)ペタ
exa1018穣艾 (艾可薩)エクサ
zetta1021-沢 (沢它)ゼタ
yotta1024-堯 (堯它)ヨタ

最終的に、「億」は中数の 108 の意味で定着し、「兆」は下数の 106 の意味で定着した。「億」より「兆」のほうが小さくなってしまったわけだ。中国語ではもはや「京」以上が何を意味するか確定しなくなってしまったため、1012, 1016 を「万億」、「億億」と呼ぶようになった。退化したという他はない。言語はただ伝統を大切にすれば良いものではない。数の位のように多義語だと混乱するものは、絶対に統一するべきなのだ。中国語で下数、万進の中数、万万進の中数のどれかを選べなかったのは失敗だった。台湾や韓国では日本式の万進が導入されていたので「兆」は 1012 のままだが、それを超える単位はあまり知られていない。

ところで、数の単位の混乱は西洋にもある。アメリカでは million, billion, trillion はそれぞれ 106, 109, 1012 を意味するが、フランス、ドイツなどでは 106, 1012, 1018 を意味する。これらが統一される気配はないが、最近はアメリカ式が優勢である。


恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思議、無量大数は仏教に由来する。仏教が取り入れたインドの数の単位は本来、中国の下数と同じ 10 倍ずつで、例えば阿僧祇は 1 から始めて 52 番目の単位、すなわち 1051 だった。ところが後の仏典ではこれらの数詞の定義が異なることがあり、途方もない数として登場することがある。

大方広仏華厳経の巻第四十五、阿僧祇品第三十には那由他、阿僧祇、無量を含む巨大な数が述べられている。華厳経では 107（千万）を意味する倶胝（くてい）以上は、中国の上数と同じように 2 乗すると次の単位になるので、最後は想像を絶する大きさになる。以下にその数詞を示す。一部、仏教辞典に出ていないため読み方を推測したものがある。

数名称
105洛叉（らくしゃ）
107倶胝（くてい）
107×2 = 1014阿庾多（あゆた）
107×22 = 1028那由他（なゆた）
107×23 = 1056頻波羅（びんばら）
107×24 = 10112矜羯羅（こんがら）
107×25 = 10224阿伽羅（あから）
107×26 = 10448最勝（さいしょう）
107×27 = 10896摩婆羅（まばら）
107×28 = 101792阿婆羅（あばら）
107×29 = 103584多婆羅（たばら）
107×210 = 107168界分（かいぶん）
107×211 = 1014336普摩（ふま）
107×212 = 1028672禰摩（ねま）
107×213 = 1057344阿婆鈐（あばけん）
107×214 = 10114688弥伽婆（みかば）
107×215 = 10229376毘攞伽（びらか）
107×216 = 10458752毘伽婆（びかば）
107×217 = 10917504僧羯邏摩（そうがらま）
107×218 = 101835008毘薩羅（びさら）
107×219 = 103670016毘贍婆（びせんば）
107×220 = 107340032毘盛伽（びじょうが）
107×221 = 1014680064毘素陀（びすだ）
107×222 = 1029360128毘婆訶（びばか）
107×223 = 1058720256毘薄底（びばてい）
107×224 = 10117440512毘佉擔（びきゃたん）
107×225 = 10234881024称量（しょうりょう）
107×226 = 10469762048一持（いちじ）
107×227 = 10939524096異路（いろ）
107×228 = 101879048192顛倒（てんどう）
107×229 = 103758096384三末耶（さんまや）
107×230 = 107516192768毘睹羅（びとら）
107×231 = 1015032385536奚婆羅（けいばら）
107×232 = 1030064771072伺察（しさつ）
107×233 = 1060129542144周広（しゅうこう）
107×234 = 10120259084288高出（こうしゅつ）
107×235 = 10240518168576最妙（さいみょう）
107×236 = 10481036337152泥羅婆（ないらば）
107×237 = 10962072674304訶理婆（かりば）
107×238 = 101924145348608一動（いちどう）
107×239 = 103848290697216訶理蒲（かりぼ）
107×240 = 107696581394432訶理三（かりさん）
107×241 = 1015393162788864奚魯伽（けいろか）
107×242 = 1030786325577728達攞歩陀（たつらほだ）
107×243 = 1061572651155456訶魯那（かろな）
107×244 = 10123145302310912摩魯陀（まろだ）
107×245 = 10246290604621824懺慕陀（ざんぼだ）
107×246 = 10492581209243648瑿攞陀（えいらだ）
107×247 = 10985162418487296摩魯摩（まろま）
107×248 = 101970324836974592調伏（ちょうぶく）
107×249 = 103940649673949184離憍慢（りきょうまん）
107×250 = 107881299347898368不動（ふどう）
107×251 = 1015762598695796736極量（ごくりょう）
107×252 = 1031525197391593472阿麼怛羅（あまたら）
107×253 = 1063050394783186944勃麼怛羅（ぼまたら）
107×254 = 10126100789566373888伽麼怛羅（がまたら）
107×255 = 10252201579132747776那麼怛羅（なまたら）
107×256 = 10504403158265495552奚麼怛羅（けいまたら）
107×257 = 101008806316530991104鞞麼怛羅（べいまたら）
107×258 = 102017612633061982208鉢羅麼怛羅（はらまたら）
107×259 = 104035225266123964416尸婆麼怛羅（しばまたら）
107×260 = 108070450532247928832翳羅（えいら）
107×261 = 1016140901064495857664薜羅（べいら）
107×262 = 1032281802128991715328諦羅（たいら）
107×263 = 1064563604257983430656偈羅（げら）
107×264 = 10129127208515966861312窣歩羅（そほら）
107×265 = 10258254417031933722624泥羅（ないら）
107×266 = 10516508834063867445248計羅（けいら）
107×267 = 101033017668127734890496細羅（さいら）
107×268 = 102066035336255469780992睥羅（へいら）
107×269 = 104132070672510939561984謎羅（めいら）
107×270 = 108264141345021879123968娑攞荼（しゃらだ）
107×271 = 1016528282690043758247936謎魯陀（めいろだ）
107×272 = 1033056565380087516495872契魯陀（けいろだ）
107×273 = 1066113130760175032991744摩睹羅（まとら）
107×274 = 10132226261520350065983488娑母羅（しゃもら）
107×275 = 10264452523040700131966976阿野娑（あやしゃ）
107×276 = 10528905046081400263933952迦麼羅（かまら）
107×277 = 101057810092162800527867904摩伽婆（まかば）
107×278 = 102115620184325601055735808阿怛羅（あたら）
107×279 = 104231240368651202111471616醯魯耶（けいろや）
107×280 = 108462480737302404222943232薜魯婆（べいろば）
107×281 = 1016924961474604808445886464羯羅波（からは）
107×282 = 1033849922949209616891772928訶婆婆（かばば）
107×283 = 1067699845898419233783545856毘婆羅（びばら）
107×284 = 10135399691796838467567091712那婆羅（なばら）
107×285 = 10270799383593676935134183424摩攞羅（まらら）
107×286 = 10541598767187353870268366848娑婆羅（しゃばら）
107×287 = 101083197534374707740536733696迷攞普（めいらふ）
107×288 = 102166395068749415481073467392者麼羅（しゃまら）
107×289 = 104332790137498830962146934784駄麼羅（だまら）
107×290 = 108665580274997661924293869568鉢攞麼陀（はらまだ）
107×291 = 1017331160549995323848587739136毘迦摩（びかま）
107×292 = 1034662321099990647697175478272烏波跋多（うはばた）
107×293 = 1069324642199981295394350956544演説（えんぜつ）
107×294 = 10138649284399962590788701913088無尽（むじん）
107×295 = 10277298568799925181577403826176出生（しゅっしょう）
107×296 = 10554597137599850363154807652352無我（むが）
107×297 = 101109194275199700726309615304704阿畔多（あばんた）
107×298 = 102218388550399401452619230609408青蓮華（しょうれんげ）
107×299 = 104436777100798802905238461218816鉢頭摩（はどま）
107×2100 = 108873554201597605810476922437632僧祇（そうぎ）
107×2101 = 1017747108403195211620953844875264趣（しゅ）
107×2102 = 1035494216806390423241907689750528至（し）
107×2103 = 1070988433612780846483815379501056阿僧祇（あそうぎ）
107×2104 = 10141976867225561692967630759002112阿僧祇転（あそうぎてん）
107×2105 = 10283953734451123385935261518004224無量（むりょう）
107×2106 = 10567907468902246771870523036008448無量転（むりょうてん）
107×2107 = 101135814937804493543741046072016896無辺（むへん）
107×2108 = 102271629875608987087482092144033792無辺転（むへんてん）
107×2109 = 104543259751217974174964184288067584無等（むとう）
107×2110 = 109086519502435948349928368576135168無等転（むとうてん）
107×2111 = 1018173039004871896699856737152270336不可数（ふかすう）
107×2112 = 1036346078009743793399713474304540672不可数転（ふかすうてん）
107×2113 = 1072692156019487586799426948609081344不可称（ふかしょう）
107×2114 = 10145384312038975173598853897218162688不可称転（ふかしょうてん）
107×2115 = 10290768624077950347197707794436325376不可思（ふかし）
107×2116 = 10581537248155900694395415588872650752不可思転（ふかしてん）
107×2117 = 101163074496311801388790831177745301504不可量（ふかりょう）
107×2118 = 102326148992623602777581662355490603008不可量転（ふかりょうてん）
107×2119 = 104652297985247205555163324710981206016不可説（ふかせつ）
107×2120 = 109304595970494411110326649421962412032不可説転（ふかせつてん）
107×2121 = 1018609191940988822220653298843924824064不可説不可説（ふかせつふかせつ）
107×2122 = 1037218383881977644441306597687849648128不可説不可説転（ふかせつふかせつてん）

意訳と音訳が入り交じっているが、一個所だけ不統一がある。107×298 は青蓮華（しょうれんげ）と訳されている。次の 107×299 の鉢頭摩（はどま）は赤い蓮の花という意味なので、紅蓮華（ぐれんげ）にするべきだろう。

これらの単位は上数なので実用的ではないが、その巨大さには圧倒される。最後の不可説不可説転は 1 の後に 0 が 37 澗以上ある数である。指数を使わない限り、書くことすらできない。これに比べれば無量大数は塵（ちり）に等しい。無量大数で数えるのをやめた我々は、釈迦（しゃか）の手のひらを全く出ていなかったのだ。


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