この3者は同じものとは言い切れません。意味の上ではmanyとa lot ofは同じです。manyは口語表現において疑問文や否定文に使われ，a lot ofは平叙文(肯定文)に使われます。言い換えれば，a lot ofがmanyより若干意味が強くなるため，強調の必要性が少ない疑問文，否定文にmanyがよく現れるということです。ただし，文語表現(文書などの書き言葉)では，manyは平叙文(肯定文)にも使われます。逆に堅い感じの文でa lot ofやmanyを見かけることもよくありますので，mucy先生の硬軟による区別は明白ではありません。しかし，米国人はこうした使い分けにはあまりこだわっていないようです。また，質問者さんがmanyの位置について述べていますが，manyが文の始めに置かれるというような傾向はありません。位置はいろいろです。 「a number ofは堅い文に使う」とか「『多数の』という意味である」とmucy先生が言っていますが，誤りです。a number ofはごくふつうの文にも使います。I have a number of friends.という文は検索でも多数ヒットしますよ。mucy先生の検索は相変わらずへたくそですね。検索条件を制限しすぎているようです。また，a number ofは本来「いくつかの，何人かの」という意味です。「多数の」という意味もあるということなのです。どちらの意味になるかは前後関係で判断するしかありません。最近は「多数の」という意味で使われることが多くなってきているため，学校でもそう教えているようですが，注意は必要です。 numberという語を用いて，前後関係に頼らずに「多数の」という意味を出したいとき，あるいは「いくつかの」という意味に誤解されたくないときは通常a great number ofとかnumbers ofという表現を使います。また，どうしても「いくつかの」という意味に取ってほしいときはa certain number ofなら間違いないでしょう。