このままだと感覚的に何を目指せば良いのか分かりかねるのでとりあえず逆数を取ってみます。
すると、
PQ・PR/(PQ+PR)=PS/2
PQ・PR=PS・(PQ+PR)/2
ここで、(PQ+PR)/2について、これはQとRの中点をMとした場合、PMとなります。
よって、
PQ・PR=PS・PM
または
PA²=PS・PM
これを示すことが目標となります。
この形からは方べきの定理が連想されます。
しかし、残念ながらQ, R, S, Mは同一円周上にありません。S, MとAを通りPAが接線となる円の存在も示せそうにありません。
なので、もしこの方針が正しいなら、これらを仲介する他の円が見つかるということになります。
それを念頭に置いて図を眺めてみます。
すると、円の中心をO、POとABの交点をCとして、
・4点S, M, O, Cを通る円…①
・3点O, A, Cを通りAでPAと接する円…②
がとりあえず見つかります。
①において、方べきの定理より、
PS・PM=PC・PO
②において、方べきの定理より、
PC・PO=PA²
よって、この2式から、PS・PM=PA² が示され、
大元の円において、PQ・PR=PA² なので、
PQ・PR=PS・PMが示されました。
解答は、追加で必要な点を定義した後に、上記の2円の存在を示して、3円の方べきの定理を書きPQ・PR=PS・PMを示して、そのあと逆数を取る、という流れにすると良いでしょう。
