(cache)畳み込み　可逆性　判定

あけまして　おめおめでとう　ございます（５７５）

$\cdot$ を適当な畳み込み演算として、 $f = f \cdot g + 1$ のとき、 $f = 1 / (1 - g)$ ←これマジ？

定理

各点和、 {and, or, xor} 畳み込み積を演算とする環 $R$ において、 $g \in R$ が可逆 ⇔ $W H T (g)$ が可逆 ⇔ $\forall_{i} W H T (g)_{i} \neq 0$

$f$ : 環同型とする（上の $f$ とは別）

$a$ : 零因子 ⇔ $f (a)$ : 零因子

証明：定義より、 $\exists_{x \neq 0} a x = 0$

$f (a) f (x) = f (a x) = f (0), f (x) \neq f (0)$

WHT は環同型である

証明：「ここに適切な証明が入る」

$\forall_{i} W H T (g)_{i} \neq 0$ のとき、存在性は $h_{i} = 1 / W H T (g)_{i}$ として $i W H T (h)$ を考えればよい。 $h \cdot g = 1$ は明らか

あとは一意性を言えばOK

$f \cdot g = h \cdot g \Leftrightarrow f = h$ を示せばよい

$f \cdot g = h \cdot g \Leftrightarrow (f - h) \cdot g = 0$

ここで $W H T (g)$ は可逆であったから、 $g$ も可逆である、つまり零因子でない、したがって $f - h = 0$

$f = \sum_{i = 0}^{\infty} g^{i} \Leftrightarrow f = f \cdot g + 1$

証明：略