形式的冪級数における log(exp(x)) = x の証明

なんでどこにもないんだよ（半ギレ）

定義

$\exp (x)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}}$

$\log (1+x)={\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{x}^k}{k}}$

とします、これは定義なので理由はありません

式変形

$\log (\exp (x))={\displaystyle \log (1+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{i!})={\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{i!}}\right)}^k}{k}}}$

$[x^n]n!{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{i!}}\right)}^k$ を考える

これは $n$ 個の区別できるボールと $k$ 個の区別できる箱があって、それぞれの箱に一つ以上のボールを入れる通り数で、包除して式で書くと

${\displaystyle \sum _{i=0}^k(-1{)}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})(k-i{)}^n}}$

これを wolframalpha に入れると、第二種スターリング数と呼ばれているものに $k!$ を掛けたものだと分かる、今後は $k!S_n^{(k)}$ と書くことにする

ここで wikipedia を開くと ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}k!S_n^{(k)}}$ は $n\ge 2$ で $0$ なことがわかる。 $n=1$ では頑張ると $1$ だとわかる。 Q.E.D.

おまけ

ボールの区別がつかないと勘違いしてて無限に時間を溶かした、未来の被害者を救いたい