ソフトウェア開発したい日記

ワイルズがフェルマー予想を解くまでの流れを
簡単に説明できるようになりたいという自己満足メモ。

①
谷山豊と志村五郎により、
「すべての（有理数係数の）楕円曲線はモジュラーである」
という谷山・志村予想が発表された。
また、x^n + y^n = z^n (n≧3)を満たす自然数解a,b,cが存在すると仮定すると、
y^2 = x(x - a^n)(x ＋ b^n)
のような「フライの楕円曲線」と名づけられた楕円方程式と対応付けることができる。

この楕円方程式はモジュラー形式ではないと予想し、
谷山・志村予想が正しいとき、連鎖的にフェルマー予想が解決される。
この予想を定式化したジャン＝ピエール・セールの名をとり
フライ・セールのイプシロン予想と名づけられた。
この予想はケン・リベットによって正しいと証明された。

②
ワイルズはリベットの証明を聞き、
すぐさま谷山・志村予想およびフェルマー予想にとりかかった。

フェルマー予想を解決するためには
すべての楕円曲線がモジュラーであることを示す必要はなく
半安定的な楕円曲線についてのみ述べればよかった。
（半安定な楕円曲線とは、どの素数ｐで還元しても高々２重根どまりの楕円曲線）

③
ワイルズは、全ての楕円曲線の性質を群の表現論に還元することを考えた。
そしてガロア表現への還元を行えることを証明し、
ガロア表現はモジュラーであろうと予想した。
ガロア表現とは無限の情報を有限に情報に置き換える方法で
２次の正方行列で表される。
これにより、楕円曲線から得られる無限の情報（体）を群に置き換え、
それがモジュラーであることを調べていった。
ワイルズは楕円曲線Eについて、素数を法とした解のデータを集めた。

④（ここから怪しい）
ワイルズは証明を完成させ、ケンブリッジで行われた公演で証明を発表。
コリヴァギン＝フラッハのオイラー系に関して不足があり、証明は認められず。
ワイルズが長年関わってきた岩澤理論を用いることで、完全解決。

こんな感じだろうか。