解説微分方程式入門

変数分離法

最も簡単な、「1階・定数係数・同次。線形微分方程式」

は左右両辺をx$x$だけ、y$y$だけの変数になるように分離して両辺を積分する変数分離法で解くことができる

dyy=kdx$\frac{dy}{y}=kdx$と先ほどの式を書き直す。
左辺はy$y$だけの式、右辺はx$x$だけの式になった

∫dyy=∫kdx${\displaystyle {\int }_{}^{}\frac{dy}{y}={\int }_{}^{}kdx}$左辺はy$y$について、右辺はx$x$についての積分を行い、
log|y|=kx+C1(C1は積分定数)$log|y|=kx+C_1(C_1は積分定数)$
y$y$について書きなおして
y=±ekx+c1=Cekx　(C:定数)$y=\pm e^{kx+c_1}=C{e}^{kx} (C:定数)$

まとめ

変数分離法

関数y(x)$y(x)$に対する1階同次微分方程式の右辺が、変数ごとに分離した関数の積になるとき、つまり、
dydx=f(x)g(x)${\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)g(x)}$の時、両辺をy$y$だけ、x$x$だけの変数になるように分離すると
∫dyg(y)=∫f(x)dx${\displaystyle {\int }_{}^{}\frac{dy}{g(y)}={\int }_{}^{}f(x)dx}$として式全体を積分することができる。

例題

y(x)に対する次の微分方程式を解け$y(x)に対する次の微分方程式を解け$
dydx=−xy2$\frac{dy}{dx}=-x{y}^2$

この演習は簡単なので回答は省略します。

最後に

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