３次方程式の解

$3$ 次方程式 $f\left(x\right)=0$ の解は、
$y=f\left(x\right)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標である。
※$2$ 次方程式のときと同様ですから、あたりまえですね！

ですから、
$3$ 次方程式 $f\left(x\right)=0$ の異なる実数解の個数は、　　
$y=f\left(x\right)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数と一致します。

図からも明らかなのですが、$3$ 次方程式の場合、「実数解なし」というケースはありません。

例題１

次の方程式について、異なる実数解の個数を求めなさい。

$x^3-6x^2+9x-1=0$

解説

$f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x-1$ とすると

$f´\left(x\right)=3x^2-12x+9$
$=3(x-1)(x-3)$

$f´\left(x\right)=0$ のとき $x=1,3$

$\begin{array}{cccccc}x& \cdots & 1& \cdots & 3& \cdots \\ f^{\prime }\left(x\right)& +& 0& –& 0& +\\ f\left(x\right)& & 3& & -1& \end{array}$

よって、グラフより異なる実数解を $3$ つもつ。

※青丸の $x$ 座標は、本問では聞かれていません。
この$x$ 座標のとき、$x^3-6x^2+9x-1=0$ が成り立つわけですね。
この $x$ を求めることを、$3$ 次方程式を解く、というわけです。

例題２

次の方程式について、異なる実数解の個数を求めなさい。

$-x^3+3x^2-4=0$

解説

$f\left(x\right)=-x^3+3x^2-4$ とすると

$f´\left(x\right)=-3x^2+6x$
$=-3x(x-2)$

$f´\left(x\right)=0$ のとき $x=0,2$

$\begin{array}{cccccc}x& \cdots & 0& \cdots & 2& \cdots \\ f^{\prime }\left(x\right)& –& 0& +& 0& –\\ f\left(x\right)& & -4& & 0& \end{array}$

よって、グラフより異なる実数解を $2$ つもつ。