テブナンの定理

テブナンの定理

テブナンの定理 は求めたいものが、回路の電流 のときに有効な定理です。
回路中の任意の場所に流れる電流 $I$ を、求めるときに使います。

テブナンの定理の使い方

図（１）のような、複雑な回路網の抵抗に流れる電流　$I$　を求めるとします。
この場合、図（２）のように等価電源　$V_0$　と等価抵抗　$R_0$　に変換します。
電流　$I$　は　
$I=\frac{V_0}{R_0+R}$　[A]　として簡単に求めることができます。

テブナンの定理の例

図のようなの回路の電流 $I$ を求める場合において、テブナンの定理の使い方を説明します。

１．電流を求めたい部分を切り離します

２．等価電源　$V_0$　を求める

•$V_0$ を求めるには、次のようにします。

閉回路に流れる電流を $I_0$ とすると、次の式が成り立ちます。
$I_0=\frac{15-6}{3+6}=1$　[A]

したがって、$V_0$　は
$15V-3V=6V+6V=12$　[V]　になります。

起電力と電圧降下の正負

2018.07.13

３．等価抵抗　$R_0$　を求める。

回路内部のすべての電源を短絡させます。

合成抵抗 $R_0$ は、並列接続なので
$R_0=\frac{3\times 6}{3+6}=2$　[Ω] になります。

４．等価回路に変換する

この等価回路の負荷抵抗に流れる電流　$I$　を、オームの法則により求めると、次のようになります。

$I=\frac{V_0}{R_0+R}$$=\frac{12}{2+4}=2$　[A]　

テブナンの定理を検証する

次のような回路で、電流 $I$ をテブナンの定理で求めよ。という問題があるとします。

テブナンの定理で、$V_0$ を求めます。

$I_0=\frac{100}{25}=4$　[A] から

$V_0=100-5\times 4=80$　[V]

次に、等価抵抗 $R_0$ を求めます。

抵抗の並列接続なので、和分の積で求めます。
$R_0=\frac{5\times 20}{5+20}=4$　[Ω]

求めた $V_0、R_0$ から、もとの回路を、等価回路にすると次のようになります。

求める電流 $I$ は
$I=\frac{80}{8}=10$　[A] になります。

各要素についての検証

回路の各要素を、次の図のようにして考えて見ます。

合成抵抗を $R$ とすると

$R=5+\frac{20\times 4}{20+4}=\frac{25}{3}$　[Ω]

$I_1=\frac{100}{\frac{25}{3}}=12$　[A]

$I_2、I$ を分流の法則で求める。

$I_2=I_1\times \frac{4}{20+4}=2$　[A]

$I=I_1\times \frac{20}{20+4}=10$　[A]

したがって、$V_1=V_2=40$　[V]

$V_1=100-5\times 12=40$　[V]

$V_2=20\times 2=40$　[V]

●各要素の数値は次のようになります。

回路の負荷抵抗 $4$　[Ω] にかかる電圧は、$40$　[V] になり、テブナンの定理の $V_0=80$　[V] とは異なることに注意が必要です。

●等価回路での各要素の数値は、次のようになります。

$V_0=80$　[V] は、$R_0$ と負荷抵抗 $4$　[Ω] の電圧降下の和になります。

テブナンの定理の証明

テブナンの定理は、どのように考えて作られたのでしょうか。

図1のような、回路の端子ab 間に抵抗 $R$　[Ω] をつないだとき、流れた電流を $I$　[A] とすると次のように表されます。

$I=\frac{V_i}{R_i+R}$　[A] 

●テブナンの定理の証明をしてみます

まず、回路の負荷抵抗 $R$ を切り離します。

回路網の複数の電源を一つにまとめた電源を $V_0$ とします。

同じように、複数の抵抗を一つにまとめた内部抵抗を $R_i$ とします。　

また、端子ab 間の開放電圧を $V_i$ とします。

一般的に、$V_0$ と $V_i$ の値は異なります。

●端子電圧と同じ電圧の電池 $V_i$ を接続する

図3のように、ab 間の端子電圧と同じ大きさの起電力を持つ電池を、ab 端子に接続します。

そうすると、両方の電位差がなくなりますので、回路には電流 $I_E$ は流れません。

●抵抗 $R$ を接続する

回路に流れる電流 $I_E$ は 0（ゼロ）なので、図4 のように、回路に抵抗 $R$ を接続しても変化は起こりません。

●内部電源 $V_0=0$ にする

図4 の回路の内部電源 $V_0$ を 0（ゼロ）にすると、電池 $V_i$ から、図5 のように、電流 $I_1$ が流れます。

●電池 $V_i=0$ にする

次に今度は、図4 の回路の電池 $V_i$ を 0（ゼロ）にすると、内部電源 $V_0$ により、図6 のように、電流 $I_2$ が抵抗 $R$ に流れます。

この電流 $I_2$ は図1 で流れた電流 $I$ と等しくなります。

図1 の電流 $I$ はテブナンの定理で流れた電流になります。

●内部抵抗 $R_i$ を求める

この回路が持つ内部抵抗（合成抵抗）は $R_i$ ですから、図7 の右の図の回路と等価になります。

したがって、電流 $I_1$ はオームの法則から

$I_1=\frac{V_i}{R_i+R}$　[A] になります。

ここで、$I_1=-I_2、I_2=I$ ですから、向きが違いますがそれぞれの大きさは等しくなります。

つまり、$I_1=I_2=I$　[A]

したがって、

$I=\frac{V_i}{R_i+R}$　[A] になります。

この式は、図1のテブナンの定理の式と同じになります。

以上で「テブナンの定理」の説明を終わります。