コンデンサーにおける板間の力

　コンデンサーを充電すると、片方にプラスの電荷がたまり、もう片方にマイナスの電荷がたまります。よって、これらの板の間には吸引力がはたらきます。今回はこの引き寄せる力を計算しましょう。

コンデンサーにかかる力

　クーロン力を使っても解けると思いますが、計算が面倒です。ここではエネルギーをうまく使って計算していきます。まず、コンデンサの板間の距離を大きくしてみます。当然、コンデンサ間に吸引力がはたらいているので、力がいります。これは、板の距離を大きくするとコンデンサにエネルギーを与えていることになります。

　ここで、引っ張っている力の大きさを $F$ とすると、 $\Delta x$ だけそっと距離を大きくすると仕事は

　 $F\Delta x$

となります。この量はコンデンサのエネルギー変化

　 $U(x+\Delta x)-U(x)$

と等しくなるので

　 $F\Delta x=U(x+\Delta x)-U(x)$

となります。ここで $\Delta x$ で割って極限をとると

　 $\displaystyle F=\frac{dU}{dx}$ ・・・(1)

となります。コンデンサーのエネルギーは

　 $\displaystyle U(x)=\frac{Q^{2}}{2C}$

で、

　 $\displaystyle C=\frac{\epsilon_{0}S}{x}$

なので

　 $\displaystyle U(x)=\frac{Q^{2}}{2\epsilon_{0}S}x$

となります。よって、式(1)より

　 $\displaystyle F=\frac{Q^{2}}{2\epsilon_{0}S}$

が成り立ちます。電荷が大きいと板間の力が大きくなり、面積が大きいと弱くなることがわかりますね。

著者：安井真人(やすい　まさと)