NHK高校講座

次の中から、たし算ができる２つの数を選んでください！
そして、その計算をしてみましょう。
√５、√６、√８、√１０、√１２、√１５、√１８、√２０、√２２、√２４、√２７、
√２８、√３０、√３２、√３５、√４０、√４２、√４４、√４８、√５０
（※表記できていませんが、√の上には線があります。以下同様です。）

最初に、ルートの計算のポイントを復習しておきましょう。
ルートの中の数を素数のかけ算の形に変形します。
このとき平方になる数があればルートの外に出しましょう。
ルートの中の数が同じになったら、ルートの外側にある係数をたしたりひいたりすることができます。

先ほどの問題の答えです。
☆√５と√２０
　　√５＋√２０＝√５＋２√５＝３√５
☆√６と√２４
　　√６＋√２４＝√６＋２√６＝３√６
☆√８と√１８
　　√８＋√１８＝２√２＋３√２＝５√２
☆√１０と√４０
　　√１０＋√４０＝√１０＋２√１０＝３√１０
☆√１２と√２７
　　√１２＋√２７＝２√３＋３√３＝５√３

この他にも、
√８と√３２、√８と√５０、√１８と√３２、√１８と√５０、√３２と√５０、
√１２と√４８、√２７と√４８
これらが、たし算できます。

次に、ルートのかけ算の復習です。
ａ＞０、ｂ＞０とすると
☆√ａ×√ａ＝（√ａ）^２=ａ
☆√（ａ×ａ）＝√ａ^２＝ａ
☆√（ａ×ｂ）＝√ａ×√ｂ＝√ａｂ
（※ルートの中を(　)でくくって表記しています。以下同様です。）

２÷√２を計算してみましょう。

√２を１．４１４２として電卓で計算すると、
２÷√２＝２／√２＝１．４１４２…
となります。
このような計算に毎回電卓を使うのは面倒ですね。

数学では、分数の分母にはルートを書かないというルールがあります。
計算の結果、分母にルートが入ってしまった場合には、分母を有理化して、ルートをはずしましょう。
この“有理化”が今回の学習のポイントです☆

分数のルールについて確認しておきましょう！
ある数ａに１をかけても値は変わりません。
つまりａ×１＝ａとなります。
この関係は、ある数が分数でも成り立ちます。
つまり（１／ａ）×１＝１／ａとなります。（ただしａ≠０）

さて、１はいろいろな分数の形で表すことができます。
１＝１／１＝２／２＝３／３＝…＝ａ／ａ　　（ただしａ≠０）

したがって
（１／ａ）×１＝（１／ａ）×（ａ／ａ）＝ａ／ａ^２　　（ただしａ≠０）
と書いても値は変わりませんね！
このように、分母と分子に同じ数をかけることを倍分といいます。
もちろん、最終的に計算結果を書くときには約分して１／ａとしてくださいね！

それでは今回のテーマ“分母の有理化”について学習していきましょう！
分母から無理数がなくなるように（分母が有理数になるように）することを分母の有理化といいます。

２／√２の分母を有理化してみましょう！
上の左図を見てください。

分母と分子にそれぞれ√２をかけて
２／√２＝（２／√２）×（√２／√２）＝（２×√２）／（√２×√２）＝２√２／２＝√２
となりまね。
最後に２で約分するのを忘れないようにしましょう！

それではもう１問！
２／√１２の分母を有理化してみましょう。
分母と分子にそれぞれ√１２をかけて
２／√１２＝（２／√１２）×（√１２／√１２）…と計算していっても答えは出ます。
しかし、もっと楽に計算するために、√１２＝２√３と先に計算してしまいましょう。
２／√１２＝２／２√３＝１／√３＝（１／√３）×（√３／√３）＝√３／３
となります。
分母と分子にそれぞれ√３をかけて分母を有理化しました。
このように、分母の有理化をするときには、事前にルートの中の数をなるべく小さくすることがポイントです。

問題です！
３／√２４の分母を有理化しなさい。

答えは…
３／√２４＝３／２√６＝（３×√６）／（２√６×√６）＝３√６／１２＝√６／４
となります。
最初にルートの中の数をなるべく小さくするのがポイントでしたね！
約分も忘れないようにしましょう☆

今回、分母の有理化について教えてくれるのは湯浅弘一先生（ゆあさま）です☆

１／（√５－√３）の分母を有理化してみましょう。
まず、乗法公式の（ａ＋ｂ)(ａ－ｂ）＝ａ^２－ｂ^２を使います。
上の右図のように、分母と分子に（√５＋√３）をかけましょう。
計算すると答えは（√５＋√３）／２となります。

それでは問題！
６／（√７－２）の分母を有理化しなさい。

まず、分母と分子に（√７＋２）をかけましょう。
計算すると答えは２√７＋４となります。
分数の約分をするときには、はじめに分子がひとつの数でくくれるかを確認するようにすると、上の右図のような間違いを防げますよ！

分母の有理化のまとめです。
しっかり確認しておきましょう！

問題です！
１／√２ ＋ ２／√８ － １／（√２＋１） を計算しなさい。（上の左図を参照）

まず、ルートの中の数字をなるべく小さくしましょう。√８＝２√２となりますね。
次に分母の有理化をします。
上の右図のように、計算すると答えは１となります。
みなさん、できましたか～！？

数学は毎日少しずつ繰り返して復習することで必ずできるようになります。
次回もお楽しみに～☆