分離公理の周辺で、反例となる空間をまとめました。
分離公理は、日本語版Wikiに従って、以下の通りとします。
(英語だと完全ハウスドルフとウリゾーンが逆だったりします)

T0；異なる２点のうちの少なくとも一方が他方を含まない近傍を持つ。
T1；異なる２点は他方を含まない近傍を持つ
ハウスドルフ；異なる２点は交わらない近傍を持つ
ウリゾーン；異なる２点は交わらない閉近傍を持つ
完全ハウスドルフ；異なる２点は関数で分離される

正則；任意の閉集合とそれに含まれない一点が交わらない近傍を持つ
完全正則；任意の閉集合とそれに含まれない一点が関数で分離される
正規；任意の交わらない閉集合が交わらない近傍を持つ
全部分正規；二つの集合は一方の閉包が他方と交わらないとき交わらない近傍を持つ
完全正規；任意の交わらない閉集合が関数でちょうど分離される

成立する事実を確認しておきます。
まずT1空間においては
・完全正規⇒全部分正規⇒正規⇒完全正則⇒正則,完全ハウスドルフ⇒ウリゾーン⇒ハウスドルフ
となります。
必ずしもT1でないとしても
・完全正規⇒全部分正規⇒正規
・完全正則⇒正則
・完全ハウスドルフ⇒ウリゾーン⇒ハウスドルフ⇒T1⇒T0
が成立します。

これはWikiにたくさん載っています。

少し取り上げると以下のようなものがあります。

ウリゾーンでないことは次のように示されます。S(a,b)の閉包をT(a,b)とおきます。
b∈S(a,b)でないことは(a,b)=1からわかります。
(t,b)=1とすると、互除法によりtx-by=a-bkなるx,y∈Zが存在します。
従って(bk,t)=1なる任意のkについてS(bk,t)∩S(a,b)≠∅となり、
kbの任意の近傍はS(a,b)と交わるので、bZ⊂T(a,b)がわかります。
さて、m,nの近傍Um,Unを取ると、m∈S(m,a)⊂Um,n∈S(n,b)⊂UnとなるS(m,a),S(n,b)が存在します。
ab∈T(m,a),T(n,b)なのでT(m,a)∩T(n,b)≠∅となり、ゆえにZはウリゾーン空間でないことがわかります。

S＝{(p,q)|p,q∈Q,0<p,q<1,p≠1/2}
X＝S∪{(0,0)}∪{(1,0)}∪{(1/2,r√2)|r∈Q,0＜r√2＜1}
とします。Xに基本近傍系を次のように定めて位相を入れます。
・Sの点の近傍は(0,1)×(0,1)に含まれる程度に十分小さい(R^2の標準位相での)開球
・(0,0)の近傍はU_n(0,0)={(0,0)}∪{(x,y)|0<x<1/4,0<y<1/n}
・(1,0)に近傍はU_n(1,0)={(1,0)}∪{(x,y)|3/4<x<1,0<y<1/n}
・(1/2,r√2)の近傍はU_n(1/2,r√2)={(x,y)|1/4<x<3/4,|y-r√2|<1/n}
Xの部分空間としてのSにはR^2の標準位相から誘導された位相と同じ位相が入っています。
このときXは明らかにウリゾーン空間です。
また、Sの点でx座標が1/4であるもの全体は閉集合で、これと(0,0)は明らかに近傍で分離できず、よって正則でないです。
完全ハウスドルフでないことは、次のように示されます。

Aの閉包をCL(A)と書くことにします。
連続関数f:X→I=[0,1]でf(0,0)=0,f(1,0)=1となるものが存在したとします。
Iの開集合[0,1/4),(3/4,1]のfによる逆像は点(0,0),(1,0)の開近傍なので
あるn,m∈Nが存在しU_m(0,0)⊂f^(-1)([0,1/4)),U_n(1,0)⊂f^(-1)((3/4,1])となります。
r√2<min{1/m,1/n}となるr∈Qをとります。f(1/2,r√2)が[0,1/4),(3/4,1]の両方に含まれることはないので、[0,1/4)に含まれないとしても一般性を失わない。
f(1/2,r√2)の開近傍Uで、CL(U)∩CL([0,1/4))=∅となるものをとると、
CL(U)とCL([0,1/4))のfによる逆像はそれぞれ(1/2,r√2)と(0,0)の交わらない閉近傍です。
しかしr√2<min{1/m,1/n}より、任意のkについてU_m(0,0)とU_k(1/2,r√2)の閉包は交わるのでこれは矛盾。よってそのような連続写像は存在しないことがわかります。

Tychonoff Corkscrewというものがあります。
Ω を最小の非可算順序数、ω を最小の無限順序数とし、A=(Ω+1)×(ω+1)-{p}（ただしp=(Ω,ω)）とします。これは順序位相を入れて考えた積空間の相対位相を入れます（チコノフの板）。
Aをコピーして、A(n),B(n),n∈Zとします。これらを次のように貼り合わせてできる空間をSとします；
・A(n)の辺(Ω+1)×{ω}-{p}とB(n)の辺(Ω+1)×{ω}-{p}の対応する点を同一視
・B(n)の辺(ω+1)×{Ω}-{p}とA(n+1)の辺(ω+1)×{Ω}-{p}の対応する点を同一視
さて、S は上下に無限にのびる螺旋状の空間となります。そこで S の最上点と呼ばれる点 a と最下点と呼ばれる点 b を付け加え X=S∪{a,b} とします。X の位相は
・S の点 x の近傍は x を含む S の開集合
・a の近傍は V(a;i) = {a} ∪ ( ∪_(n>i) (A(n)∪B(n)) )
・b の近傍は V(b;i) = {b} ∪ ( ∪_(n<i) (A(n)∪B(n)) )
として定義される基本近傍系によって生成します。
この空間をTychonoff Corkscrewと言います。

Xの閉集合Fについて、aを含まなければあるiによりn>i⇒F∩V(a;n)=∅となることから、Xの正則性がわかります。
完全ハウスドルフでないことを示すためには、次のことに注意せねばなりません；A上の連続関数f:A→Rに対して、あるα<Ω,β<ωがあって、fは[α,Ω]×[β,ω]-{p}上で定数関数。これは、Ω+1上の連続関数が十分大きいところで定数となることから従います。
では、f:X→Rを任意の連続関数とします。A(n)上の(α,β)を(α,β;a,n)などと書くこととすれば、先に述べた事実から、各nに対してあるα<Ωがあってfは{(β,ω;a,n);α≦β<Ω}上で一定の値cをとります。これはまたB(n)の辺でもありますから、先に述べた事実から、あるγ<ωがあってfは{(Ω,β;a,n);γ≦β<Ω}上で値cをとります。
こうして、各A(n),B(n)の辺を媒介にすることで、f(a)=f(b)=cとなることがわかります。
従って、この空間の点a,bは関数で分離できないので完全ハウスドルフでないことがわかります。

アレクサンドロフの板というのがあります。
Ωを最小の非可算順序数とし、[0,Ω]と[-1,1]に順序位相を入れます。X=[0,Ω]×[-1,1]に積位相を入れて位相空間(X,τ)を考えます。U(α,n)={(Ω,0)}∪(α,Ω]×(0,1/n)とし、σ=τ∪{U(α,n)|α<Ω,n∈N}とすれば、(X,σ)は位相空間となります。
これは完全ハウスドルフです。なぜなら異なる二点(a,b),(c,d)でa<cならx≦aの部分を0,c≦xの部分を1とする関数、b<dでも同様の関数を考えれば、二点が関数で分離できることがわかります。
一方これは正則ではありません。{(x,0)|x<Ω}はXの閉集合で(0,Ω)を含みませんが、これらの任意の近傍は交わります。