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問２
　この問題は、三角関数の和の公式を上手に使って正解を求める。でも、三角関数の和の公式があやふやでも、正解にたどり着くことができる。
　
(1)
＜正解が分からない時の解答の作り方＞
証明問題なので、与えられた式は成立するのに決まっている。
n=kの時成立する。n=k-1の時も成立する。だから、引き算して、
2cos(kx)sin(x/2)=sin{(k+1/2)x}-sin{(k-1/2)x}
となるはず。
x=2θと書くと、
2cos(2kθ)sin(θ)=sin(2kθ+θ)-sin(2kθ-θ)
　
＜解答の書き方＞
まず、三角関数（サイン）の和の公式を使うと次式が成り立つ。
（本当は、もう少し書いたほうが良いが、わからなければ仕方ない。）
2cos(2kθ)sin(θ)=sin(2kθ+θ)-sin(2kθ-θ)
ここで、x=2θとすると、次式となる。
2cos(kx)sin(x/2)=sin{(k+1/2)x}-sin{(k-1/2)x}
この式で、k=1～nまで足し合わせると、題意の式となる。
　
(2)この問題は(1)がヒントになっていることはわかるでしょう。(1)をフルに使ってみると、何となく正解に到達する。
　
<解答>
(1)から、sin(x/2)≠0、Σcos(kx)=0のとき、sin{(n+1/2)x}-sin(x/2)=0
逆に、sin(x/2)≠0、sin{(n+1/2)x}-sin(x/2)=0のとき、Σcos(kx)=0が、成り立つ。
　
＜ここで次のように考える＞
(1)で次の式を導いた。
　2cos(kx)sin(x/2)=sin{(k+1/2)x}-sin{(k-1/2)x}
この式で、a=kx,b=x/2とすれば、
2cos(a)sin(b)=sin(a+b)-sin(a-b)　が成り立つ。
　
＜解答の続き＞
まず、三角関数（サイン）の和の公式を使うと次式が成り立つ。
　2cos(a)sin(b)=sin(a+b)-sin(a-b)
ここで、a=(nx+x)/2,b=nx/2とおくと、
2cos{(nx+x)/2}sin(nx/2)=sin{(n+1/2)x}-sin(x/2)=0
cos{(nx+x)/2}=0のとき、x={(2k+1)/(n+1)}π　(kは整数)
sin(nx/2)=0のとき、x=(2k/n)π　(kは整数)
　
一方、sin(x/2)=0のときは、x=2kπ(kは整数)となるので、
cos(kx)=1となり、Σcos(kx)≠0　である。
　
以上より求める答えは、
　x={(2k+1)/(n+1)}π　(kは整数)　
および
　x=(2k/n)π　(kは整数で、k/nは整数でない)