πのａｒｃｔａｎｇｅｎｔ公式集　　　　　　　２００４年２月２６～２７日、柴田昭彦　作成
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０１３年８月９日、４項公式no.７０の訂正
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０１３年１２月３１日、２項公式の発見者について


以下のπのａｒｃｔａｎｇｅｎｔ公式集は、水沢緯度観測所の田村良明氏と東大の金田康正氏による次のレポートに収載のもの。

Ｙｏｓｈｉａｋｉ　ＴＡＭＵＲＡ，Ｙａｓｕｍａｓａ　ＫＡＮＡＤＡ，“Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　π　ｔｏ　４，１９４，２９３　Ｄｅｃｉｍａｌｓ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ
Ｇａｕｓｓ－Ｌｅｇｅｎｄｒｅ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，”Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｃｅｎｔｒｅ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｏｋｙｏ，Ｍａｙ　１９８３．　

なお、πのａｒｃｔａｎｇｅｎｔ公式については、その後、松元隆二氏によって、ここにない新公式が加えられてHPに公開されている。

筆者は、末尾に掲げる文献を探し出し、レンチ博士からの情報を含めて、高野喜久雄氏および金田康正氏に資料提供して、
金田氏がこのリストをまとめるのに多大の貢献をしている。とりわけ、公式の発見者についての情報は筆者によるものである。
発見者の情報はほとんど公開されていないので、ポッゲンドルフ人名辞典やＤｉｃｔｉｏｎａｒｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ　Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ，
Ｗｈｏ’ｓ　Ｗｈｏ　ｉｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ（Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ），その他の資料によって得たデータをまとめておこう。

　Ｊｏｈｎ　Ｍａｃｈｉｎ（１６８０－１７５１）・・・・・・マチン（イギリスの天文学者）　　（１６８５－１７５２）は誤り
　Ｃｈａｒｌｅｓ　Ｈｕｔｔｏｎ（１７３７－１８２３）・・・・ハットン（イギリスの数学者）
　Ｌｅｏｎｈａｒｄ　Ｅｕｌｅｒ（１７０７－８３）・・・・・オイラー（スイス生まれ、ロシアの数学者）
　Ｇｅｏｒｇ　ｖｏｎ　Ｖｅｇａ（１７５６－１８０２）・・・・・ベガ　（オーストリアの数学者）　　（１７５４ー１８０２）は誤り
　Ｊａｋｏｂ　Ｈｅｒｍａｎｎ（１６７８－１７３３）・・・・・ヘルマン　（スイスの数学者）　

　　　２項公式（Ｎｏ．３）の発見者がヘルマンであることは，ＭＴＡＣ　ｖｏｌ．２（１９４７）ｐ．２８の注にあり、ヘルマンが１７０６年に
　　ライプニッツ（Ｌｅｉｂｎｉｚ）にあてた手紙に述べられているという。

　Ｓａｍｕｅｌ　Ｋｌｉｎｇｅｎｓｔｉｅｒｎａ（１６９８－１７６５）　クリンゲンシェルナ　（スウェーデンの物理学者。色消しレンズを発明。）

　　　　クリンゲンシュティルナと読む人もある。原綴りは、Ｓａｍｕｅｌ　Ｋｌｉｎｇｅｎｓｔｊｅｒｎａであり、「ｓｔｊｅ」は「シェ」と読む。
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　Ｆｒｅｄｒｉｋ　Ｃａｒｌ　Ｍｕｌｅｒｔｚ　Ｓｔφｒｍｅｒ（１８７４－１９５７）　シュテルマー　（ノルウェーの数学者・気象学者。オーロラの研究。）
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　　　　ストーマー、ステルマーと呼ぶ人もあるが、　「シュテルマー」が原音に近い。多くは、Ｃａｒｌ　Ｓｔｏｒｍｅｒ　と表記する。
　　　
　Ｋａｒｌ　Ｈｅｒｉｂｅｒｔ　Ｉｇｎａｔｉｕｓ　Ｂｕｚｅｎｇｅｉｇｅｒ（１７７１－１８３５）　ブツェンガイゲル　（ドイツの数学者・鉱物学者）
　　クリンゲンシェルナが１７３０年に発見していた３項公式（Ｎｏ．２）を、ブツェンガイゲルは１８０３年、独立に再発見した。
　　　（ブラウンミュールの「三角法の歴史についての講義」第２巻、１９０３年、に Ｂｕｚｅｎｇｅｉｇｅｒの発見が載っている。）
　　　（平山諦『円周率の歴史』１９５５年、の９８頁に、「ブゼンガイガー」として紹介されている。）

　Ｋａｒｌ　Ｈｅｉｎｒｉｃｈ　Ｓｃｈｅｌｌｂａｃｈ（１８０５－９２）　シェルバッハ　（ドイツの数学者・物理学者）
　　　クリンゲンシェルナが１７３０年に発見していた３項公式（Ｎｏ．２）を、シェルバッハは１８３２年、独立に再発見した。

　Ｊｏｈｎ　Ｗｉｌｌｉａｍ　Ｗｒｅｎｃｈ，Ｊｒ．（１９１１－２００９）　レンチ　（アメリカの数学者）・・・享年９７歳（Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ参照）
　Ｓｉｄｎｅｙ　Ｌｕｘｔｏｎ　Ｌｏｎｅｙ（１８６０－１９３９）　ローニー　（イギリスの数学者）
　Ｅｄｗａｒｄ　Ｂｒｉｎｄ　Ｅｓｃｏｔｔ（１８６８－１９４６）　エスコット （アメリカ）　
　Ｄｅｒｒｉｃｋ　Ｈｅｎｒｙ　Ｌｅｈｍｅｒ（１９０５－１９９１）　レーマー　（アメリカの数学者）・・・享年８６歳（Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ参照）
　Ａｌｂｅｒｔ　Ａｒｎｏｌｄ　Ｂｅｎｎｅｔｔ（１８８８－１９７１）　ベネット (横浜生まれ、アメリカの数学者）(Encyclopedia Brunoniana 参照）
　Ｔｈｅｏｄｏｒ　Ｍｅｙｅｒ（１８４６－？）　　マイヤー （ドイツ）
　Ｌｅｏｐｏｌｄ　Ｋａｒｌ　Ｓｃｈｕｌｚ　ｖｏｎ　Ｓｔｒａｓｓｎｉｔｚｋｙ（１８０３－５２）シュルツ・フォン・シュトラスニツキー（オーストリアの数学者）
　Ｃａｒｌ　Ｆｒｉｅｄｒｉｃｈ　Ｇａｕｓｓ（１７７７－１８５５）　ガウス　（ドイツの数学者）
　高野喜久雄（１９２７－２００６）（Ｋｉｋｕｏ　ＴＡＫＡＮＯ）（元教員。詩人。「荒地」同人。代表的な合唱曲「水のいのち」の作詞など）
　村田　　　（Ｔ．ＭＵＲＡＴＡ）
　柴田昭彦（１９５９－）（Ａｋｉｈｉｋｏ　ＳＨＩＢＡＴＡ）

（２０１３年８月９日、追記）（４項公式のno.70の誤りについて）
・同年７月２３日、神奈川県在住の柏木厚さんという「数学愛好家」から、下記の一覧表公式の検証を行ったところ、表中で唯一、
４項公式のno.70に誤りがあり、「４４３９→４４４３」という数値訂正を行えば、正しい４項公式になるという主旨のメールを
いただきました。情報提供いただいた柏木氏に感謝申し上げます。

（２０１３年１２月３１日、追記）（２項公式の発見者について）
・２項公式の発見については埋もれた歴史があったことが明らかとなっている。その事実は、中村滋「数学史の小窓　余滴４」
（数学セミナー、２０１２年１２月）で紹介されたことがきっかけとなって、日本でよく知られるようになった。その後、上野健爾
「円周率が歩んだ道」（岩波書店、２０１３年６月）でも紹介された（１９０～１９１頁）。また、中村滋「数学のかんどころ２２　
円周率　歴史と数理」（共立出版、２０１３年１１月）においても取り上げられているので、参考にされたい。

・埋もれた歴史を明らかにしたのはトゥウェドゥルの次の論文であった。
Ian Tweddle, "John Machin and Robert Simson on Inverse-tangent Series for π", Arch. Hist. Exact Sci.,42,pp.1-14(1991)
・マチンは、２項公式を４つとも発見していたが、自分自身で公表することがなく（１７０６年にロイヤル・アカデミーに出した論文に
書いていたが、マチン自身が取り下げ、公表されなかった）、もっとも計算に適した公式１とその計算結果（１００桁）だけが、
ジョーンズの著書で紹介されて有名になったのであった。従って、２項公式４つの最初の発見者はマチンであり、公式３について
は、独立に同じ年（１７０６年）にヘルマンが見つけていたということになる。
・クリンゲンシェルナが１７３０年に発見した３項公式（Ｎｏ．２）を、スコットランドのグラスゴー大学のシムソン（Robert Simson,
1687-1768；　初等幾何学で有名な「シムソン線」の発見者) がすでに１７２３年に発見していたことも明らかになった。

・３項公式（Ｎｏ．３９）は、ローニーが１８９３年に発見したが、すでにマチンが１７０６年の論文（未公表）で記載していたことが明らか
となった。上野健爾「円周率が歩んだ道」（１９０頁）では、この公式の数値に誤植がある（11985→1985）。

（公式の発見者の修正のまとめ）
２項Ｎｏ．１（Ｍａｃｈｉｎ １７０６）　Ｎｏ．２（Ｍａｃｈｉｎ １７０６）　Ｎｏ．３（Ｍａｃｈｉｎ １７０６；Ｈｅｒｍａｎｎ １７０６）Ｎｏ．４（Ｍａｃｈｉｎ １７０６）
３項Ｎｏ．２（Ｓｉｍｓｏｎ　１７２３　；　Ｋｌｉｎｇｅｎｓｔｉｅｒｎａ　１７３０）　Ｎｏ．３９（Ｍａｃｈｉｎ　１７０６　；　Ｌｏｎｅｙ　１８９３）　

　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓３項（Ｎｏ．３９）　（Ｊ．Ｍａｃｈｉｎが、１７０６年にすでに発見）



　　　（注記）４項公式のno.70に誤りがあり、「４４３９→４４４３」という数値訂正を行えば、正しい４項公式になる。