対数の基本公式と，底の変換公式

　log はその基本からして，これまでに使ってきた記号に比べて複雑ですから，その計算方法も一筋縄では行きません．(対数の基本は，こちらで確認してください．)

　まずはその中でも簡単なものから説明しましょう．

　log a 1 は，「 a を１にする指数」ですから，a がどんな数であっても 0 ですし( a^0=1 )，log a a は「 a を a にする指数」ですから，当然 1 です．( a^1=a )

　次に　 が，どう計算できるかを考えます．そのためには， が，結局は「 a を何にする指数」なのかを，実際に を a の指数とした を計算することによって調べることにします．計算すれば，

となります．すなわち， は，「a を にする指数」とわかりました．ということは，

であったわけです．

　次は ですが，

と計算できますから， は「a を にする指数」とわかりました．つまり

なのです．

　 はどうでしょうか．これも a の指数にした を計算してみるのですが，指数の順序を変えて計算すれば，

　←( です。)

です．「a を にする指数」ですから，

と変形できます．

　 はどうでしょう．

←( )

ということで， は，a を にする指数だとわかります．（まず一つめの指数 が，a を にして，次に二つめの指数 が， を にしたわけです．）

　この公式は，この形では教科書には出てきませんが，二つの対数のかけ算で，片方の真数がもう片方の底と同じなときに，一つの対数に直せるので，この形で理解しておくと便利です．普通の教科書などには，この両辺をでわってある形，すなわち

だけが載っています．これを底の変換公式といい，底を無理矢理変えるために使います．左辺から右辺に変えるときに新たに登場する底の値は，なんでもよいのです．（ただし正でしかも 1 以外です．）

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