2リンクモデルの逆運動学を求める！順運動学の式から算出する方法

ロボット工学において、順運動学や逆運動学を理解することはロボットや機械を制御する際にとても重要です。

 

以前の記事では、順運動学と逆運動学についての基本知識と簡単なモデルでの各運動学の算出結果を紹介しました。

 

前回の記事では、2リンクモデルの運動学のうち順運動学の式を求める方法を紹介しました。

 

今回の記事では、残りの2リンクモデルにおける逆運動学を求める方法を紹介したいと思います。

 

 

2リンクモデルと順運動学

前回のおさらいです。

 

今回の記事では、上図のような2つの回転関節（Rotational Joint）と2つのリンク（Link）による2リンクモデルを取り扱います。

 

この2リンクモデルの順運動学は

の式で表されます。

 

 

 

逆運動学の算出

では、2リンクモデルの逆運動学を求めていきます。

 

今回の記事では、逆運動学の式を求めるために、前回の記事で求めた順運動学の式を変換することで、ロボットの位置xとyから関節の変位θ₁とθ₂を表す数式を求めていきます。

 

この逆運動学の算出方法にも色々な手法がありますが、今回の記事ではθ₁を求めた後に、そのθ₁の値にあったθ₂を求める流れで逆運動学の式を算出していきたいと思います。

 

θ₁について求める

まず、順運動学の式を下のように移項して変換します。

 

つぎに、この変換した2つの式の両辺を2乗します。

 

そして、2つの式の左辺と右辺をそれぞれ足し合わせることで、1つの式に変換します。

その結果、θ₁のみを含む式に変形することが出来ました。

 

この式をθ₁について解くことで、逆運動学の式の1つを求められます。

 

θ₁を含む項を左辺にまとめると、

となります。

 

ここで、三角関数における

という関係を用いると、先ほどの式の左辺は

と変換することが出来ます。

 

この式をθ₁について解くと

となり、θ₁に関する逆運動学の式を求めることが出来ました。

 

θ₂について求める

同様に、残りのθ₂についての逆運動学の式を求めていきます。

 

まず、θ₁を求める際に変形した順運動学の式

について、2つ目の式を1つ目の式で割ると

という関係式が導かれます。

 

ここで、右辺について

という変換を行うと、先ほどの式は

となります。

 

この式をθ₂について解くと

のように、θ₂に関する逆運動学の式を求めることが出来ました。

 

 

逆運動学と複数解

取り扱っている2リンクモデルの「ロボットの位置（x、y）」から「関節の変位（θ₁、θ₂）」を求めるための逆運動学の式は

で表されることが分かりました。

 

ここで、算出した逆運動学のθ₂の式にはθ₁が含まれていることが分かります。

 

もちろん、θ₁のみで表されているθ₁の式と同様に、θ₂の式もθ₂のみで表すことは可能です。

しかし、今回紹介した逆運動学の式ではθ₁を含んだ形としています。

 

これは、逆運動学には複数の解が存在する場合があるためです。

 

 

θ₁の式を見ても分かるように、式に含まれるプラスとマイナスで2つの解があります。

 

そして、それぞれのθ₁に対応するようにθ₂も決定する必要があるため、θ₂の式はθ₁が含まれる形にしています。

 

そのため、もしθ₂の式をθ₁を含まずに求める場合は、反対にθ₁の式をθ₂を含んで表す必要があります。

 

 

まとめ

今回の記事では、2リンクモデルの運動学のうち逆運動学の式を求める方法を紹介しました。

 

前回の記事で求めた順運動学の式を変換することで、逆運動学の式を求めることが出来ることが分かりました。

 

前回で求めた順運動学の式と今回で求めた逆運動学の式で構成される運動学を用いることで、2リンクモデルの制御を行うことが出来ます。

 

 

合わせて読みたい

2リンクモデルの順運動学を求める方法について

運動学（順運動学と逆運動学）の基本について