Morita equivalence

Morita 同 値 という 概 念 はどんどんその 適 用 範 囲 を 広 げている 。

元 々 は , 森 田 紀 一 氏 によ っ て [ Mor58 ] で 導入 された 環 の 間 の 同 値 関 係 であるが , 今 や operad や groupoid など 他 の 代 数 的 構 造 や 圏 論 的 構 造 にも Morita 同 値 の 概 念 が 拡 張 さ れ , 盛 んに 使 われている 。

最 も 基 本 的 な , 二 つの 環 の 間 の Morita 同 値 については , 例 えば , Weibel の [ Wei94 ] に 定 義 と 基 本 的 な 性 質 がある 。 Derived category の 同 値 など , より 一 般 的 な Morita 同 値 も 含 めた survey としては Schwede の [ Sch04 ] がある 。 Morita 同 値 も 含 めた , 森 田 紀 一 氏 については AMS の Notices の 記 事 [ AGHZ97 ] が 参 考 に なる 。

• 二 つの 環 の module の 圏 が Abelian category として 同 値 になるための 条 件

Morita 同 値 ならばその module の 圏 の 同 値 は bimodule を tensor することにより 得 られるわけであるが , より 一 般 に 二 つの module の 圏 の 間 の functor が bimodule を tensor することにより 与 えられるための 条 件 を 調 べたのが , Eilenberg [ Eil60 ] と Watts [ Wat60 ] である 。

• Eilenberg-Watts theorem

Morita 同 値 である 典 型 的 な 例 は 行 列 環 とその 係 数 環 である 。

• 環 R と 行 列 環 M _n ( R ) は Morita 同 値

より 一 般 の 圏 における Morita 同 値 の 例 としては 以下 のものがある 。

• C ^* -algebra と W ^* -algebra の Morita 同 値 [ Rie74 ]
• Banach algebra の Morita 同 値 [ Grø95 ]
• Poisson manifold の Morita 同 値 [ Xu91 ]
• Lie groupoid の Morita 同 値 [ MM03 ]
• Hopf * -algebra の 作 用 を 持 つ * -algebra の Morita 同 値 [ JW06 ]
• symplectic manifold 上 の star product の Morita 同 値 [ BW02 ]
• tensor category の Morita 同 値 [ Müg03a ]

中 心 とな っ ているのは bimodule であり , 当 然 algebra を object とし , bimodule を 1-morphism とする bicategory が 重 要 な 役 割 を 果 す 。 Niles Johnson の [ Joh ] に よると , このような bicategory の 視 点 での 拡 張 としては , Fisher-Palmquist と Palmquist の [ FPP75 ] , Müger の [ Müg03b ] , Brouwer の [ Bro03 ] などが ある 。

最 近 の 流 れとして , その up to homotopy 版 として ( ∞ ,n )-category を 使 うのは 当 然 だろう 。 Haugseng が [ Hau ] で E _n -algebra を object とし , bimodule や bimodule の 間 の bimodule を morphism とする ( ∞ ,n + 1)-category を 構 成 して いる 。

Module の category が monoidal structure を 持 つときには , monoidal category とし ての 同 値 を 考 えるべきだろう 。 例 えば , Hopf algebra 上 の module の category の 場 合 な どである 。

• monoidal Morita equivalence

Shimizu [ Shi10 ] は finite group algebra の 場 合 を 考 えている 。 Shimizu [ Shi ] によると , gauge equivalence とい 概 念 で finite dimensional Hopf algebra の monoidal Morita equivalence を 特 徴 づけたのは Schauenburg [ Sch96 ] で ある 。

有 限 群 の 複 素 表 現 の 場 合 , symmetric monoidal category の 構 造 から 元 の 群 が 復 元 で きる ことが 分 か っ ているが , 単 なる monoidal structure だけで 何 が 言 えるかを 考 え たものとして Etingof と Gelaki の [ EG01 ] がある 。 彼 等 は , 二 つの 群 の 表 現 の category が monoidal category として 同 値 であるとき , その 二 つの 群 は isocategorical である , という 言 い 方 をしている 。 Davydov の [ Dav01 ] も ある 。

• isocategorical group

Galindo [ Gal ] は , 一 般 の 体 の 上 で 二 つの 群 が isocategorical になる 条 件 を 考 えて いる 。

ホモロジ ー 代 数 的 な 一 般 化 としては , derived category を 考 えるのが 自 然 だろう 。 そ して , それは structured ring spectra の 圏 へと 一 般 化 されている 。

• 環 A と B に 対 し , それらの module の derived category が triangulated category として 同 値 になる 条 件 [ Ric89 ]
• S -algebra A と B に 対 し , それらの module の model category が Quillen 同 値 になる 条 件

前 者 は derived Morita equivalence, 後 者 は homotopical Morita equivalence と 呼 ば れるようである 。 後 者 を 調 べたものとしては , 例 えば , Berglund と Hess [ BH ] の monoidal model category での coring の homotopical Morita equivalence が ある 。

Derived category の 同 値 を 調 べる 際 には tilting complex というものが 重 要 な 役 割 を 果 す 。 詳 しくは König と Zimmermann の [ KZ98 ] と Schwede の [ Sch04 ] を 見 ること 。 Dugger と Shipley は [ DS07 ] で DGA の topological equivalence という 概 念 を 用 いて , topological tilting theory というものを 考 えて いる 。

Niles Johnson の [ Joh ] は derived Morita 同 値 と bicategory 的 な Morita 同 値 を 融 合 しようというものである 。 Johnson は [ Joh14 ] で , bicategory での Azumaya object の 特 徴 付 けの 結 果 として , Rickard や Dugger と Shipley の 結 果 ( の 一 部 ) を 得 て いる 。

また Eilenberg-Watts の 定 理 の model category 版 が Hovey の [ Hov ] で 得 られて いる 。

別 の 一 般 化 として , Słomińska は [ Sło04 ] で R -module の 圏 に 値 を 持 つ functor category の Morita 同 値 を 考 えている 。 それを semi-stable model category に 一 般 化 し たのが , Helmstutler の [ Hel ] である 。

Naidu の [ Nai07 ] は , 群 や 群 とその 3 次 元 コホモロジ ー 類 の 組 に 対 しできる tensor category の 間 の Morita 同 値 を 用 いて , 群 の 圏 や 群 と 3 次 元 コホモロジ ー 類 の 圏 に “categorical Morita equivalence” という 概 念 を 定 義 しようという 試 みで ある 。

References