第287回　音楽と数学：純正律の輝き（前編）

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双倉図書館にて

ユーリ「あーおもしろかった。対数、完全に理解したっ！」

僕「また大きく出たなあ。そういうのやめい！」

ユーリ「へへ」

テトラ「それにしても、音について考えるときに、数学で学ぶ対数が出てくるのはおもしろいですね（第285回参照）。 音楽と数学って、ちょっと考えると全然ちがうものに思えるのに、音楽を支えている根底のところに数学があるなんて」

僕「確かにそうだね」

ユーリ「あれー、でもテトラさん？　世の中のものを細かくしていったら原子や素粒子になるんでしょ。この世のものを支えている根底のところに物理学もあるよー。思いがけないところに、ららら物理学ー」

テトラ「ほんとですね！　ユーリちゃんすごいです！」

僕「ユーリが言ってることは正しいけど、何かずれてるような気もするなあ」

ユーリ「おっおっ、ユーリさまの理論に文句あるんかい」

僕「すごむなよ。確かに物体を細かくしていったら原子や素粒子になるかもしれないけど、ふだん生活しているときには原子を意識してるわけじゃないよね」

ユーリ「だからー、細かくしたら、って言ってんじゃん」

僕「うん、だからね。その条件はとても重要なんだよ、きっと。考えているレベルが違う。風を感じるときに、空気分子一つ一つを感じてるわけじゃなくて、 ものすごい数の空気分子の集まりの動きを感じている。 分子一つ一つがどうでもいいというわけじゃなくて、 その……集まりとしての振る舞いに目を向けているんだ」

テトラ「"a macroscopic viewpoint"」

僕「それそれ！」

ユーリ「え、なんて？　ポイント？」

僕「マクロスコーピック・ビューポイント。巨視的視点。細かく分けて見るんじゃなくて、大きな目、視野を広くして見ること」

ユーリ「まくろすこーぴっく……」

僕「そう考えてみると《音は波》というのはまったく正しいんだけど、僕たちが音楽をとらえているときの感覚と、ある一瞬の波の動きをとらえる感覚とのあいだには、 ずいぶん差がありそうだなあ」

ユーリ「反対は何て言うの？　まくろすこーぴっくの反対」

テトラ「対義語は"a microscopic viewpoint"でしょうか」

僕「マイクロスコーピック・ビューポイント。微視的視点」

ユーリ「まいくろすこーぴっく……マインクラフトみたいな名前」

僕「そうそう、マインクラフトスコーピック・ビューポイント……って違うだろ！」

ユーリ「ノリツッコミ寒いよ。そんなことより、次はどのコーナーに行く？　えーっと、《音は波》と、《ピタゴラスの響き》と、《自由な平均律》は見たから、次はどーしよ。 《リズムは歌う》にする？　《音色と倍音》にする？　それとも《音符の箱詰め》にする？」

テトラ「そういえば《ピタゴラスの響き》からすぐに《自由な平均律》に来ちゃいましたよね」

ユーリ「？」

テトラ「あっちにある《純正律の輝き》コーナーに行きましょう」

僕「ああ、飛ばしたコーナーがあるんだ」

《純正律の輝き》

ユーリ「《じゅんせーりつ》って、超かっこいい名前！」

テトラ「"just intonation"ですね」

ユーリ「じゃすと・いんとねーしょん」

僕「クイズパネルがいきなりあるよ」

ユーリ「めんどくさそーなクイズ……」

僕「いやいや、純正律という音律と、ピタゴラス音律の違いを見つけるためのクイズなんだよ、きっと」

テトラ「あ、あたしは……答えをもう見ちゃってるので（お口にチャック）」

ユーリ「完全1$1$度って同じ音のことだよね、ピタゴラス音律のところでも出てきた」

僕「そうだね。二つの音が同じ高さになっている音程のことだ」

ユーリ「なんでいま微妙に言い換えたの？　同じ音のことでしょ？」

僕「《同じ音》というのは大ざっぱな表現だからだよ。《音は波》だから、音には高さや大きさやそれからもっと複雑な形についての情報がある。 いまユーリが言った《同じ音》は、高さが同じという意味だろ？」

ユーリ「そだよん」

僕「それから、完全1$1$度や完全8$8$度というのは、音程についての名前なんだから。二つの音が必ず出てくる。 音程というのは二つの音の高さの違いだから」

ユーリ「はいはい。完全1$1$度は、二つの音が同じ高さになっている音程ですよっと。でも、これってどーして《完全0$0$度》っていわないんだろ」

僕「どうしてだろうね……ところで、このクイズに戻ろう。ここに書かれた8$8$個の音程のうち、ピタゴラス音律を作る方法では作れない音程がある、と」

ユーリ「ピタゴラス音律を作る方法って、3$3$倍にしたり1/2$1/2$にしたり」

僕「そうだね。まずオクターブは自由に作れる。周波数を2$2$倍にすれば1$1$オクターブ上がるし、周波数を1/2$1/2$倍にすれば1$1$オクターブ下がる。 そして、それとは別に周波数を3$3$倍にしたり、1/3$1/3$倍にする。 そうするとオクターブ以外の音の刻み方ができる」

ユーリ「あー、だったら完全5$5$度はできるね。2:3$2:3$だもん」

僕「いやいや、そうなんだけど、順番に考えようよ」

テトラ「……」

完全1$1$度

僕「まず、完全1$1$度は作れる」

ユーリ「同じ音だから……二つの音が同じ高さの音程にすればいいから」

僕「そうだね。最初の音の周波数をC$C$Hzとして、同じ周波数C$C$Hzの音を用意すると、

になる。C$C$とC$C$は完全1$1$度の音程」

完全8$8$度

ユーリ「完全8$8$度も作れるよ。これは1$1$オクターブ上でしょ。周波数を2$2$倍にすればいいから、これも作れる」

僕「うん。最初の音の周波数をC$C$Hzとして、その周波数を2$2$倍にした周波数をC′$C^{\prime }$Hzとすると、C′=2C$C^{\prime }=2C$ということ。だから、

になる。これはピタゴラス音律の方法で作れる」

テトラ「あっ……こういうのって大事ですね」

僕「こういうの？」

テトラ「1:2$1:2$という周波数比が出てきたときに、当たり前のように見えても、C:C′=C:2C=1:2$C:C^{\prime }=C:2C=1:2$のように書いてみることです。あたしは、いつも1:2$1:2$と2:1$2:1$でどっちがどっちって思っちゃいます。2$2$倍にするか1/2$1/2$倍にするか……」

僕「ああ、そうだね。相対的なものだから、入れ換えてもほとんどの議論は同じように進んじゃうからね。 でも、当たり前のことをちゃんと書いてみるのは大事だと思うよ。 ときどき意外な発見もあるしね」

テトラ「はい、根気よく計算するのは大好きですっ！」

完全5$5$度

ユーリ「早く次やろーよ。完全5$5$度は作れるっしょ？　2:3$2:3$だもん」

僕「作れるね。これはピタゴラス音律で大事な音だった。オクターブ以外で初めて出た音だから。C$C$に対して、G$G$を作ったときだね。 C$C$Hzの周波数を3$3$倍するんだけど、そうするとオクターブよりも上になるから、2$2$で割る。 その周波数をG$G$Hzとすると、G$G$はC$C$の3/2$3/2$倍になる。だから……」

ユーリ「C:G=C:32C=1:32=2:3$C:G=C:\frac{3}{2}C=1:\frac{3}{2}=2:3$でしょ？ 1$1$と3/2$3/2$の両方を2$2$倍する」

僕「そうだね。それで完全5$5$度はできる」

完全4$4$度

ユーリ「次の完全4$4$度もできる。えーと、下がればいい？」

僕「下がるというか、いま作ったG$G$と、高い方のC′$C^{\prime }$の音程だよね。だって、G=32C$G=\frac{3}{2}C$で、C′=2C$C^{\prime }=2C$だから、

になって、完全4$4$度ができてる」

ユーリ「あー、それでいーんだ。ユーリはC$C$から周波数を1/3$1/3$倍した低い音を作るんだと思った」

僕「それでもいいよ。それは、F$F$の1$1$オクターブ下の音になる」

長3$3$度

テトラ「次はいよいよ、あっ、いよいよじゃなくてっ、次は純正律の長3$3$度ですね」

ユーリ「周波数比は4:5$4:5$で……これはピタゴラス音律だと作れないんじゃね？　うん、作れない！」

僕「それはなぜか」

ユーリ「5$5$があるから！　4:5$4:5$のうち、4$4$は作れるよ。でも5$5$は作れない！」

僕「それは、なぜか」

ユーリ「5$5$は3$3$の倍数じゃないから！」

僕「そうだね。5$5$は2$2$の倍数でもないし、3$3$の倍数でもないから。ピタゴラス音律を作る方法で作れる周波数比は、

または、 しかない」

ユーリ「そーだね」

僕「だから、正の整数X,Y$X,Y$を使ってX:Y$X:Y$という周波数比を作るためには、X$X$とY$Y$を素因数分解したときに、 どちらも2$2$と3$3$の素因数しか持たないようになっていなければならないわけだ。 でも5$5$は素数だから素因数は5$5$自身だけ。なので4:5$4:5$はピタゴラス音律の方法で作れない」

ユーリ「ダウト！　いまの説明、怪しーぞ。《X$X$とY$Y$が2$2$と3$3$の素因数しか持たない》じゃなくて《X$X$とY$Y$が2n$2^n$と3m$3^m$でなくてはならない》じゃないの？」

僕「約分した後はそうだね。2$2$の冪乗と3$3$の冪乗になる。でもたとえば、X=2$X=2$でY=6$Y=6$という比は作れるよ。 X=6$X=6$は3$3$の冪乗じゃないけど、X:Y=2:6=1:3$X:Y=2:6=1:3$だから」

ユーリ「そっか、約分か……あー、ってことは5$5$が入ってるのは全滅だ。長3$3$度と短3$3$度と長6$6$度と短6$6$度は全部5$5$が入ってるから、 ピタゴラス音律を作る方法では作れない！」

テトラ「こちらに正解パネルがあります」

純正律

テトラ「こちらに《純正律による音階》の解説パネルがあります」

ユーリ「めんどくさそーな作り方」

僕「いや、これははっきりしているよ。つまり、二つの音の周波数比が決まっていて、それを音程として音階を作るということだね」

ユーリ「計算すればすぐできるじゃん」

僕「やってみよう」

ユーリ「えー……」

僕「すぐできるんだろ？」

テトラ「そうですね！　やってみましょうよ」

ユーリ「C$C$の音から6$6$個の音を決めて、G$G$の音から2$2$個を決める……うえー」

ユーリ「とりあえず、最初の6$6$個はできたよ。よーするにX:Y$X:Y$だったら低い音のC$C$をY/X$Y/X$倍すれば、高い音になるってことだからカンタンだった！」

• C$C$Hzに対して、完全1$1$度上の音はC$C$Hzの1$1$倍
• C$C$Hzに対して、完全8$8$度上の音はC$C$Hzの2$2$倍
• C$C$Hzに対して、完全5$5$度上の音はC$C$Hzの3/2$3/2$倍
• C$C$Hzに対して、完全4$4$度上の音はC$C$Hzの4/3$4/3$倍
• C$C$Hzに対して、長3$3$度上の音はC$C$Hzの5/4$5/4$倍
• C$C$Hzに対して、長6$6$度上の音はC$C$Hzの5/3$5/3$倍

テトラ「できましたね……」

ユーリ「……これって、C$C$Hzはぜんぶ共通だから、

ってことだね、よーするに」

僕「要するに、そういうことだね」

ユーリ「でもこの順番ってめちゃくちゃじゃん？　小さい順番に並べた方がよくね？　一番小さいのが1$1$で、一番大きいのが2$2$で……えーと、3/2$3/2$と4/3$4/3$ってどっちが大きい？」

僕「全部小数に直した方が大きさは比べやすいかな」

ユーリ「だったら、小さい順番だと、

になるんだよね、お兄ちゃん！」

僕「……」

ユーリ「ねー！　合ってるでしょー？」

テトラ「合ってますよ、ユーリちゃん」

ユーリ「ねー、返事してよー！」

僕「こういう数列、見たことあるぞ……

ここで1$1$を1/1$1/1$と書いて、2$2$を2/1$2/1$と書いてみよう！」

ユーリ「6$6$個の分数になったけど……これがどーしたの？」

僕「え、よく見れば気づくよ！」

テトラ「えっ……」

ユーリ「むむ……足してる？」

僕「そうだね」

ユーリ「左と右の分数の《分子同士》と《分母同士》を足してる？？」

テトラ「あっ！　本当ですね……」

僕「うん、そうなってる。たとえば1/1$1/1$と4/3$4/3$の間には5/4$5/4$があるけど、こんなふうに《分子同士》と《分母同士》を足してる」

ユーリ「うーわ！　なにそれ！　他のとこも？　計算してみる！」

テトラ「全部そうなっています！」

ユーリ「えー、なってないよー。だって4/3$4/3$と5/3$5/3$を《分子同士》と《分母同士》を足したら9/6$9/6$だよ。でもあいだにあるのは3/2$3/2$だもん。……あっ、約分すれば合ってる！　約分かー」

僕「そうか……この数列はファレイ数列に出てくるぞ、きっと！」

ユーリ「ふぁれいすうれつ？」

僕「そうだよ。ファレイ数列の定義はこう」

ユーリ「わかんねっす」

僕「たとえば3$3$次のファレイ数列F(3)$F(3)$は、分母が1,2,3$1,2,3$の分数で、値が0$0$以上1$1$以下になる数からなる。具体的に小さい順に並べると、

になる」

ユーリ「ほほー……」

僕「そしてこれは、0/1$0/1$と1/1$1/1$の組から始めて、両側から作っていけるんだ。つまりね、0=0/1$0=0/1$と1=1/1$1=1/1$からスタートして、 二つの分数の《分子同士》と《分母同士》を足した分数をあいだに入れていく 方法を使う。具体的に書いてみよう」

テトラ「何だか、綺麗ですね！」

ユーリ「すげー！」

僕「ユーリが作ってくれた数列、

から1$1$ずつ引けば、 になる。ほら、ファレイ数列のF(4)$F(4)$になってる！」

ユーリ「む。微妙にずれてますけどー。だって、余計な3/4$3/4$が入ってる」

僕「おや、そうだな。まちがいまちがい。ユーリ、よく気付くなあ。1$1$引くんじゃなくて逆数か！　ユーリが作ってくれた数列、

を逆数にして、小さい順に並べると、 になる。ファレイ数列F(5)$F(5)$の後半になってる」

ユーリ「おー、ほんとだ！」

テトラ「いまの数列を1$1$から引きますよね……

そうすると、こうなります。 逆順にすると、 こうなりますが、これはF(5)$F(5)$の前半になりますね」

ユーリ「おもしろーい！」

テトラ「でも、どうして純正律を作る音程とファレイ数列が関係するんでしょう……？」

ユーリ「なんでなんで？」

僕「なぜだろう……うーん。あのね、ファレイ数列では、F(1),F(2),F(3),…,F(N)$F(1),F(2),F(3),\dots ,F(N)$と進んできて、ようやくF(N)$F(N)$まで来てN$N$が分母に使えるようになる。 言い換えると、ファレイ数列F(N)$F(N)$に現れる数は、分母がN$N$以下という制約がある既約分数として表記される数。 だから、できるだけ小さな整数を使って比を作ろうとしている純正律の比に現れたんじゃないかな」

テトラ「just intonationの根底には、小さな整数による比がある……」

ユーリ「待って。でもピタゴラス音律は2$2$と3$3$を使ったわけでしょ？」

僕「そうだね。そして純正律では2$2$と3$3$と5$5$を使っている」

ユーリ「だったら、ピタゴラス音律の方が小さな整数だけ使ってるじゃん。なのに、なんで純正律を考える必要があるの？」

僕「ユーリは正しい。でも、小さな整数を使ったからといって、あるいは使う整数の種類が少ないからといって、比が単純になるとは限らないよね。たとえば、1:5$1:5$という単純な比を2$2$と3$3$を使って作ることはできない。でも5$5$を使えば一発で作れる」

ユーリ「おお、確かにー」

テトラ「あ、あたし……先ほどひとりでこの《純正律の輝き》コーナーを見たときには、この音程の表を見て『こんなふうに純正律は作るんだ』とだけ考えました。 ユーリちゃんが言ったように、計算をすればわかる……と思ったんです。 でも、先輩とユーリちゃんといっしょにもう一度ここに来て、 実際に計算してみると、気付くことがたくさんありました。さらに疑問もたくさん湧いてきますけれど」

僕「……」

テトラ「いまは、純正律による音階を作っている途中で、まだ6$6$音しか計算していませんけれど、あたし、巨視的視点にふっと立ったような気がします」

僕「というと？」

ユーリ「まくろすこーぴっく！」

テトラ「そ、そんなすごいことじゃないんですが……ピタゴラス音律にせよ、純正律にせよ、音を見つけようとしているんですね。音を表そうとしている。 できれば、いろんな音程が小さな整数の比になるような音を用意したい。 2$2$と3$3$を使う方法もあれば、2$2$と3$3$と5$5$を使う方法もある。 でもそこにこだわりすぎると、今度は移調が難しくなる……まとまらなくてすみません」

僕「そうか、いまのテトラちゃんの言葉で思ったんだけど、音律を決めるというのは整数比を使った近似の問題なんだね。 ピタゴラスコンマという概念があったけど、あれは誤差の一種と考えられそうだ。 平均律はその誤差の部分を平均的に分散させている……」

ユーリ「んんー、そろそろ純正律の音階、残りの二音を作ろーよ！」

（第287回終わり、第288回へ続く）

参考文献

• 東条敏＋平田圭二『音楽・数学・言語： 情報科学が拓く音楽の地平』（近代科学社）
• 石桁真礼生＋末吉保雄＋丸田昭三＋飯田隆＋金光威和雄＋飯沼信義『楽典ー理論と実習』（音楽之友社）
• 小谷野謙『よくわかる楽典の教科書』（ヤマハミュージックメディア）
• グレアム、パタシュニク、クヌース『コンピュータの数学』（共立出版）

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