第285回　音楽と数学：自由な平均律（前編）

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双倉図書館にて

ユーリ「……なーるほど。ユーリが見つけたパターンだとこーなるね！」

僕「そうなる。そして問題は左下と右下の音C$C$だよ。左下の赤い丸で囲んだのが最初の音C$C$で、右下の青い星で囲んだのが十三音目の音C$C$だ」

テトラ「その二つの音の周波数が等しくないということなんですね……」

ユーリ「うわー……」

テトラ「こちらにピタゴラスコンマの解説パネルがあります」

ユーリ「ぴたごらすこんま！　名前があるんだ！」

僕「そうか、ここでいう《違い》は周波数の比になるわけか」

ユーリ「え？」

僕「日本語で《違い》というと、差を意味することもある。でもここでは比の意味」

ユーリ「よくわかんない」

僕「難しい話を言ってるわけじゃないよ。《最初の音の周波数》をC1$C_1$で表して、《十三音目の周波数》をたとえばC13$C_{13}$で表したとする。 ピタゴラスコンマは312/219$3^{12}/2^{19}$だから、

になるって言っただけ。もしもピタゴラスコンマが1$1$だったら《違い》はまったくなかったんだけどね。 C1×1=C13$C_1\times 1=C_{13}$になってたわけだから。 でも、実際はピタゴラスコンマは、 という値。1$1$よりもちょっぴり大きい」

ユーリ「比の意味、わかった。いままでずっと周波数を3$3$倍したり1/2$1/2$にしてきたんだから、ぜーんぶ掛け算の話だもん。 それにしても、この《小さい違い》はどーすんの？」

テトラ「……それでいいんでしょうか」

ユーリ「テトラさん、それって？」

テトラ「あたしたちは計算の方法を知りましたよね」

ユーリ「？」

テトラ「計算の方法を知ったということは《小さい》ではなくて《どのくらい小さい》と言えるようになったはずだと思うんです。なので、ピタゴラスコンマはどのくらい小さいのかな……と」

ユーリ「あっ！　定量的な議論ってやつ？！　（第282回参照）」

僕「なるほど……」

ユーリ「でも待ってよ、テトラさん。だって、もー、計算は終わってるじゃん？ピタゴラスコンマは、

だってわかっている。これって《てーりょーてき》じゃないの？　数が出てるもん」

テトラ「ええ、そうなんですけど、ではその1.0136432647705078125$1.0136432647705078125$はどのくらいの小ささなのか……と思ったんです」

ユーリ「ほんとーは1$1$になってほしーけど、1.0136432647705078125$1.0136432647705078125$ になった。 てことは、

がズレなんじゃないの？」

テトラ「それは引き算でいいんでしょうか？　もともとピタゴラスコンマ自体がズレを表しているんですよね」

ユーリ「えーと……そっか、1$1$を1.0136432647705078125$1.0136432647705078125$から引き算するのは変？」

僕「うーん……引き算することは変じゃないよ。たとえば実数x$x$をa$a$倍することと、b$b$倍することを比較したいとき、b−a$b-a$に意味はあるかという話だよね。 x$x$をb−a$b-a$倍した値(b−a)x$(b-a)x$は、《ax$ax$に何を加えればbx$bx$が得られるか》に答える量になる」

ユーリ「なんですと？」

僕「簡単な話だよ。

だから、ax$ax$に(b−a)x$(b-a)x$を加えればbx$bx$が得られる」

ユーリ「そゆことか」

僕「たとえば、a=1,b=1.0136432647705078125$a=1,b=1.0136432647705078125$で、x$x$は最初の音の周波数と考えれば、ユーリの引き算はb−a$b-a$に相当するといえる」

テトラ「あ、あたしも混乱してきました。ピタゴラスコンマ自体がズレを表していますよね？」

僕「ズレを表すというと混乱するかもね。ピタゴラスコンマは《最初の音の周波数x$x$に何を掛ければ十三音目の周波数が得られるか》に答える量といえる。 数や量を得たときには、それが何なのかをよく理解しているのが大事だと思うよ」

テトラ「ああ……そうですね」

僕「特に《加える》のか《掛ける》のかの違いは大きい……そうか。これは対数が出てくる場面だなあ」

ユーリ「たいすう？」

僕「そうだよ。積がたくさん登場したり、比を考えたりする場面では対数が顔を出すことが多い」

ユーリ「なんで？　てか、対数って何だっけ」

対数の基本

僕「たとえば103=1000${10}^3=1000$という式が成り立つ。《10$10$の3$3$乗は1000$1000$に等しい》という」

ユーリ「うん」

僕「これと同じことを対数を使って《10$10$を底（てい）とする1000$1000$の対数は3$3$に等しい》という。そしてlog$\log$（ログ）という記号を使ってこう書く」

ユーリ「ろぐ」

僕「1000$1000$から3$3$を得る計算を《10$10$を底として1000$1000$の対数を取る》ということもある」

ユーリ「ゼロの数だ」

僕「そうだね。10$10$を底にした場合には、10n${10}^n$のn$n$はゼロの個数になるからね。底は10$10$とは限らないし、10$10$の冪乗以外の対数も取るからいつもゼロの個数とはいえないけど。 一般には、対数はこんなふうにいう」

ユーリ「そんで、音階でなぜに対数の話になったの？」

僕「対数は、積を和に変換するから」

ユーリ「ワニ変換！？」

僕「そんなに驚かなくてもいいよ。《対数は、積を和に変換する》性質がある。簡単な例だと、

になるけど、これは、 ということだね。掛け算をするんだけど、指数に注目すると足し算になってる」

ユーリ「掛け算すると、ゼロの個数は足し算になってる」

僕「そういうこと。いまはわかりやすいように10$10$の冪乗を出したけど、一般に、

ということ。これは指数法則と呼ばれるものの一つ」

ユーリ「しすーほーそく」

僕「この式の意味は《10a×10b${10}^a\times {10}^b$は、10$10$のa+b$a+b$乗に等しい》ということ」

ユーリ「10a×10b=10a+b${10}^a\times {10}^b={10}^{a+b}$だから」

僕「同じことだけど《10$10$をa+b$a+b$乗したら、10a×10b${10}^a\times {10}^b$に等しい》ともいえる」

ユーリ「そりゃそーだ」

僕「いまいったことを対数で書けば、

となる」

ユーリ「えーと？　10$10$を、a+b$a+b$乗したら、10a×10b${10}^a\times {10}^b$に等しい……ほんとだ」

僕「だから、積を和に変換したいときには対数がよく出てくる。指数の部分をメインで扱いたいときにも対数を使う。 僕は《上に乗っている指数を下に落とす》みたいな感覚で式変形しているなあ」

テトラ「あああああっ！　そういうことなんですねっ！」

僕「どうしたの、テトラちゃん急に」

テトラ「さっきあっちで見たパネルの意味がわかったからですっ！　セントという単位が出てきます」

セント

僕「なるほどね。《音は波》で、音の高さの違いは周波数の違い。音の高さの違いを調べるときには、2$2$倍とか3$3$倍とか1/2$1/2$倍といった積に注目する。 だから、周波数x$x$Hzとy$y$Hzの違いとしてy/x$y/x$を調べたくなるのはわかる」

ユーリ「それじゃだめなの？割り算すればいいんでしょ？」

僕「そうなんだけど《対数は、積を和に変換する》から、このセントの式はこう書ける。

なので、1200$1200$という定数倍になっているけど、 要するにx$x$Hzとy$y$Hzという周波数の対数を取ってから差を取っていることになる」

ユーリ「わかんねっす」

僕「log2(y/x)${\log }_2\left(y/x\right)$という割り算のところだよね。これはlog2y−log2x${\log }_{2}y-{\log }_{2}x$という引き算になる。 《対数は、積を和に変換する》から、逆数は符号反転するんだ。

これは1/x$1/x$をx−1$x^{-1}$と書くことを思い出せばとても自然だよ。 このときも《上に乗っている指数を下に落とす》感覚になってる。 だから、割り算が引き算に変換されるわけだ」

ユーリ「対数を取ると、掛け算は足し算に、割り算は引き算になるんだ……」

テトラ「セントという単位は、周波数の違いを表すだけなのに、どうしてlog$\log$のような関数が出てくるのかがピンと来なかったのですが、 《対数は積を和に変換する》と考えれば自然ですね」

ユーリ「えーと、何が自然なんだろー？」

テトラ「あたしの理解なんですが、y/x$y/x$という《比》の代わりに、log2y−log2x${\log }_{2}y-{\log }_{2}x$という《差》を使って違いを議論できるからじゃないでしょうか。 実際の音では《比》が大事です。協和するときの鍵ですから。 でも比べるときには《差》が簡単です。セントというのはそのための単位なのですね」

ユーリ「比でも差でも、わかっていれば同じだと思うけどー。それに、セントの定義に出てくる1200$1200$という数はどっから来たのかにゃあ」

僕「1200$1200$は12×100$12\times 100$だよね、きっと」

テトラ「そうですね、きっと」

ユーリ「どーゆーこと？」

テトラ「12$12$は1$1$オクターブという音を12$12$個に分割したということで、100$100$はそのうちの一つをさらに100$100$分割したということでしょう。cent（セント）は100$100$ですし」

ユーリ「セントは100$100$ってなーに？」

テトラ「centというのは、100$100$を意味する言葉に使われるんですよ。お金1$1$ドルは100$100$セントですし、1$1$世紀は100$100$年ですけれど世紀のことはセンチュリーといいますね。 1$1$メートルは100$100$センチメートルです。ここにも100$100$が出てきますね」

僕「パーセントもそうだよ。パーセントのパーは「ごとに」という意味で、全体を100$100$としたときにどれだけかを表す。百分率」

テトラ「おそらく、centipedeも語源的にはそうだと思います。pedは足ですね」

ユーリ「センチピード？ 100$100$個の足ってなに？」

テトラ「ムカデさんです……百足」

ユーリ「ぐえ」

僕「だから、音楽のセントは、1$1$オクターブの周波数の違いを1200$1200$等分したときの1$1$個分といえるんだね。ここで《等分》といえるのは対数を取っているから」

ユーリ「log2${\log }_2$になってるのはどーして？　log10${\log }_{10}$じゃないよ？」

僕「ええと……わかった。《定義にかえれ》だね。対数の定義に出てきた式を考えれば、セントの定義で底を2$2$にする理由は想像がつくよ」

ユーリ「log2${\log }_2$にする理由……底を2$2$にする理由……この式だとB=2$B=2$ってことだよね。こうなる？」

僕「そうそう。えらいなあユーリ。当てはめて具体的に考えている」

ユーリ「具体的に考えないとわかんないじゃん。そっか！　オクターブの違いを具体的に考えればいーのか！　1$1$オクターブ上がると周波数は2$2$倍になるから、x$x$Hzがy$y$Hzになるとき、y=2x$y=2x$だよね。 y/x=2$y/x=2$だから……

……なーるほどー。1$1$オクターブ上にいくと、ちょうど1200$1200$セントになるってことかー」

僕「うん、それが正解だろうね」

ユーリ「そっか、《2$2$倍になると1$1$増える》のが2$2$を底とした対数ってこと？だって、

だから、2L=A$2^L=A$のとき、2×2L=2L+1=2A$2\times 2^L=2^{L+1}=2A$じゃん？　だから、 になって、対数は1$1$増える」

僕「それは正しいね。log22×A=log22+log2A=1+L${\log }_{2}2\times A={\log }_{2}2+{\log }_{2}A=1+L$と考えても同じ」

ユーリ「セント理解した……あっ、ちょっと待って。同じ高さの音だったら何セントになるの？」

僕「計算すればわかるよ」

ユーリ「x$x$Hzがy$y$Hzになるとき、y=x$y=x$で、y/x=1$y/x=1$だから……

……そっか。20=1$2^0=1$だから、log21=20=0${\log }_{2}1=2^0=0$ってこと？　《2$2$を0$0$乗したら1$1$になる》だから、1$1$の対数は0$0$」

僕「そうだね」

ユーリ「てことは、

なんだね！　同じ高さの音のままだと、違いは0$0$セント。納得！」

僕「うん。《0$0$セントだから同じ音》という納得感は、対数を使って積を和に変換したから得られたものといえるね。 周波数の比でいうと《1$1$倍だから同じ音》という納得感になる」

ユーリ「対数とセント、完全に理解した！」

僕「大きく出たな」

テトラ「理解は定量的に考えられるのでしょうか」

ユーリ「ユーリの理解は1$1$億倍になった！」

僕「10$10$を底とする対数を取ると8$8$増えたんだね」

ユーリ「しょぼ！　対数取るなー！」

僕「でも、対数取るのはそういう効果もあるよね。つまり、とても大きな変化を把握する効果がある」

テトラ「といいますと？」

僕「たとえば、音を周波数そのもので考えたとすると、オクターブ高くなるたびに周波数は2$2$倍になるよね」

ユーリ「そだね」

僕「ということは、何オクターブも上がっていくと、周波数は2$2$倍、4$4$倍、8$8$倍……のように指数的に増加することになる」

テトラ「それは等比数列ですね？　最初の音の周波数を初項a$a$Hzとして、n$n$オクターブ上がると……はい、周波数は2na$2^{n}a$Hzになります」

僕「そうだね。もしもグラフを描いたらものすごい急カーブで増加することになる」

ユーリ「あたりまえでは」

僕「でも、対数を取れば、等比数列は等差数列に変わる。底は何でもいいけど、たとえば2$2$を底とすると、初項がA=log2a$A={\log }_{2}a$で、n$n$オクターブ上がると、log22na=log2a+n=A+n${\log }_2{2}^{n}a={\log }_{2}a+n=A+n$になる。グラフは直線になって扱いやすくなる。。 これは片対数グラフの力だね」

ユーリ「ほほー」

僕「たとえば、さっき見たこの表自体も対数を使っているといえる」

ユーリ「これが？　なんで？」

僕「この表は各行の高さが等間隔になっているけど、これは縦軸をいわば対数にしているから。もしも縦軸を周波数にしたら、等間隔にはならないはず」

テトラ「ということは、ピアノの鍵盤も対数を使って並べているといえますね。だって、1$1$オクターブ離れた音を出すキーは、低い音でも高い音でも等間隔ですから！」

僕「ああ、そうだね。白鍵と黒鍵があって半音と全音が混じっているから細かい間隔を厳密に言い出すと難しいけど、オクターブ単位で見ると、確かにテトラちゃんのいう通りだと思うよ。 《鍵盤上の1$1$オクターブの距離》は《周波数が2$2$倍になる距離》になってる」

ユーリ「にゃるほどー。対数とセント、今度こそ完全に理解した！」

僕「また大きく出たな」

テトラ「ユーリちゃん、こっちにクイズパネルがありますよ」

ユーリ「解いてみる！」

（第285回終わり。第286回へ続く）

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