やる夫で学ぶ微分
／￣￣＼
／ _ノ ＼ はじめに申し上げますが、
| （ ●）（●） この記事の作者は微分積分が苦手です。
. | （__人__）
| ｀ ⌒´ﾉ しかし、人生では微積が必要になる場面があります。
. | } 微積について私なりに理解した事を以下に整理します。
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
能書きはいいからさっさと始めるお。
／￣￣＼ ＿＿＿
／ _ノ ＼ ／⌒ ⌒＼
| （ ●）（●） プニ （● ） （● ） ＼
. | （__人_(ニ~`ヽ、 ／:::⌒（__人__）⌒::::: ＼
| ｀ ⌒´(((_⊂＞| |r┬-| |
. | ) ＼ ＼ `ー'´ ／
. ヽ ) ゝ-| ヽ
ヽ ノ ＼ ヽ ＼
/ く ＼ ＼
| ＼ ＼ ＼
| |ヽ、二⌒)､ ＼
．（● ） ’、 ′ ’. ．
／￣￣＼ ’、ヽ′・ ’、．・”； ” ’、
／ _ノ ＼ 氏ね ’、′ ’、 (;;ﾉ;; (′‘ ・． ’、′”； （ ●）
| （ ●━●━━━━.’;^｀⌒)∴⌒｀．・ ”； ’、′・ 〃
. | （__人__） ､’、 ’・ ､´⌒,;y'⌒(（´;;;;;ﾉ､"'人 ヽ ぐぇあ
| ｀ ⌒´ﾉ ､(⌒ ;;;:;´'从 ;' ;:;;) ;⌒ ;; :） )､ ヽ
. | } （ ´;`ヾ,;⌒:: :: :．从⌒;) :｀．・__人__）
. ヽ } ＼:::::． ::: ´⌒（,ゞ､⌒） ;)r┬-|
ヽ ノ ＼.;:;_) ...::ノ ソ ...::ノ :;; ; -'
/ く ＼ ＼ 、′ 、 ’、 ′ ’
| ＼ ＼ ＼
| |ヽ、二⌒)､ ＼
∧,,∧
(；`・ω・） ｡･ﾟ･⌒）
/ ｏ━ヽニニフ))
しー-Ｊ
※この物語は資料をもとにしたフィクションです。
～ある京都の高校～
ゞ ,;;;; ゞ,'` ゞ ゞ..ゞ;;,,.. ゞ
ゞ ゞ ゞ `ゞ ゞ;;ゞ,,,;; r/ ヽ;; ゞ
;; ゞ,;i, y'// ゞ i---i 、,;;ゞ,,;;ゞ, i;;,ゞ,,ゞ;;ゞ
,ゞ ゞ,ii;..ィ,; ゞr_ _ェェェェェェェ|| ◎||ェェェゞ;;;;;ゞi;;..ィ;;ヽ,,. ヽ;;ゞ
ゞ,,ゞ,;ii;;..|/i￣| | |----------..|| .= ||;;;i￣| |ゞ,ヽiii;;,..|/,,;'ヽ ゞ'
￣￣￣￣| | | |Ei_Ei_||_Ei_Ei.ﾄ|| Ei.||;;;| | 二二二二二￣￣￣￣
.| | | |----.||-----,|| .= |ｌ;;;| | | 京都高校 |
.| | | |Ei Ei || Ei Ei.ﾄ|| Ei ||;;;| | ￣￣￣￣￣
.| | | ￣￣￣￣￣."i---.ｌｌ-| |
.| | | | |
＿＿＿
／ ＼
／ ＼ もうすぐ修学旅行だお！！！
／ ⌒ ⌒ ＼ 行く先は東京。
| /// （__人__） /// | やる夫はユキちゃんと同じ斑なんだお！
. (⌒) (⌒)
./ i＼ ／i ヽ
,ハ /＼ /::::::ﾍ
/´ヽ ,/;:::::∨::::::::Y＾⌒ヽ､{ｹ:::::::::ヽ､
/l:::::ﾉ!／::::／:l|:::_ｲ丶{:::ヽ､::::.ヽ::::::'⌒＾￣,}
,／/:::::/::::／:::::／l{ﾆ、ﾐ::::＼::::::::.::::＼: : :./´::|
i /:::::/::::::::::::::::′∧ヽ＼::::::::ヽ::::ヽ:.:.:.ｲ.:/:::::::;:
/::::::::′/:::::::::/:::丿 '.:::::::ヽ:::::::ヽ:::::!::゛_,ｲ',::::::::ﾄ､
／:::::::/::::〃::::::/:::::| ヽ::::|ヽ:::::::';::::ｌ:＼:::i|::::::::: : ::＞
, '::::::/::::/,ｨ!/:::::l::::::L::∟、 ､::| ＼!:::::|:::::l＼::::::::|ゝｲ
{::::::/:::://｜'::::::l::/ｌ_∟､ ヽl二,,'_'j::::|::::,ﾄ､:::＼::lﾙ
l::::/／ l:||::ｌ:::::::::l,'ｌ { ﾄ;ﾊ` '´‘;!iﾒj }|:::ﾚ'::!ヽj/ ）ヽ
｀/,' l:||::l:::ヽ∧ヾ` vｿ Ｖノ /|:::l丿::ﾘ::| `丶 関が原を見に行きたい
（ l ﾘｌ:!い::::::{tﾍ ,,,, , ,,,;ｌ|::::|::/ｲ|::l ）
ヽ ｌ/ Ｖ｜トrﾍ、 ,ｲ.|::::|::i|| ﾘ
＼｜::| |｜::::ﾄ､ (⌒ヽ ｨ:::ﾚ':::::jl:::l
|::::j人!::::｜「 ト __ , ´｜ ′ｲ八|
|::/ i:::::::ｌ l! | ∨/::∧::丶
|/ |:::::::l !ﾚ //::∧ ﾄ､::::＼＿,
/ ｌ:::::::川 ／/::,ﾍハL 「＿￣ヽ
／ ＿ 厶ィ'::::/ ｰ一' _／∠_ヽヾ. ￣｀ヽ
／￣ 〃 j::/￣￣｀ ´￣￣ ヾ.j }
/ {{ ヾ.j
＿＿＿
／ ＼
／ ＼ ユキちゃんが行きたいなら関が原に行くお！
／ ⌒ ⌒ ＼ 関が原は東京に向かう途中にあるから、
| /// （__人__） /// | 新幹線から飛び降りてやるお。
. (⌒) (⌒)
./ i＼ ／i ヽ
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） 新幹線から飛び降りれるわけないだろ。
. | （__人__） 常識的に考えて…
| ｀ ⌒´ﾉ
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿
／）／ノ ' ヽ､＼
／ .ｲ '（●） .（●）＼ そんなこと冗談に決まってるお。
. /,'才.ﾐ). （__人__） ＼ やらないお、いちいちマジレスしないでくれお。
. | ≧ｼ' ´ ⌒｀ |
. ＼ ヽ ／
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●）
. | （__人__） あーそうかい。ところで、やる夫。
| ｀ ⌒´ﾉ お前、この間の微分積分のテストで赤点取っただろ。
. | } 数学の勉強、ヤバいんじゃないのか？
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿_
／⌒ ⌒＼ 微分積分なんて理解不能だお。
／（● ） （● ）＼ あんなの勉強しても何の役にも立たないお。
／::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼
| |r┬-| | 大体やる夫は経済学部志望なんだお。
＼ `ー'´ ／ 文系に数学は不要だお。
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） でも、次の追試も赤点なら修学旅行返上で補習授業だぞ。
. | （__人__） 修学旅行に行けなくなってもいいのか？
| ｀ ⌒´ﾉ
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿_
／ノ ヽ､_＼
／（ ○）}liil{（○）＼
／ （__人__） ＼ マジかお？
| ヽ |!!il|!|!l| / | やらないお、微分積分を教えてくれお！
＼ |ｪｪｪｪ| ／
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） どうせそんなことだろうと思ったよ。
. | （__人__） ところでお前、微積のどの辺まで理解してるんだ？
| ｀ ⌒´ﾉ
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿_
／ ＼ ／＼ ｷﾘｯ
. ／ （ー） （ー）＼
／ ⌒（__人__）⌒ ＼ 微分は、微か（かすか）に分かる
| |r┬-| | 積分は、分かった積もり
＼ `ー'´ ／ 微分積分とはこういうことだお。
ノ ＼
／´ ヽ
／￣￣＼
／ﾉ( _ノ ＼ アホ!!
| ⌒(（ ●）（●）
.| （__人__） /⌒l
| ｀ ⌒´ﾉ |`'''|
／ ⌒ヽ } | | (;;ﾉ;; (′‘ ・
／ へ ＼ }__/ / ′・ ( （´;^｀⌒)∴⌒｀．・ ” ； ’、′
／ ／ | ノ ノ ●＝）） （（＝● . ’, ･
( _ ノ | ＼´ ＿ ／ （__人__）’,∴＼ , ’ギャアアアアア
| ＼＿,, -‐ ''" ￣￣ﾞ''―---└'´￣｀ヽ/ ＼ て
.| ＿＿ ノ | （そ
ヽ ＿,, -‐ ''"￣ヽ､￣ `ー'´ ＿／ｒ'"￣
＼ , '´ / .／
＼ ( / |
＼ ＼ / |
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） 微分は、微かく（こまかく）分けて分析すること
. | （__人__） 積分は、小さく分けたもの積み重ねること
| ｀ ⌒´ﾉ
. | } 俺はこういう風に理解している。
. ヽ } とりあえず微分から始めてみるか。
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
：／￣| ： ： .／ / # ;,; ヽ
：. ｜ ::｜ ／⌒ ;;# ,;.;::⌒ : ::::＼ ：
｜ ::｜： / -==、 ' （ ●） ..:::::|
,― ＼ | ::::::⌒（__人__）⌒ :::::.::::| ： よろしくお願いしますお！！
| ＿＿_） ::｜： ! #;;:.. l/ﾆﾆ| .::::::/
| ＿＿_） ::｜ ヽ.;;;//;;.;`ｰ‐'ｫ ..;;#:::/
| ＿＿_） ::｜ .＞;;;;::.. ..;,.;-＼
ヽ＿＿）＿／ ： / ＼ ﾊｧﾊｧ....<
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） 微分ってのは曲線をずーっと拡大していって
. | （__人__） やがて直線に見えたときの傾きがナンボか
| ｀ ⌒´ﾉ それを調べるためのものだ。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼. 日本語でおｋ
| （__人__） | 曲線？直線？傾き？
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） そうだな・・・修学旅行のルートで考えてみよう。
. | （__人__） 例えば京都から東京まで新幹線に乗って行ったとする。
| ｀ ⌒´ﾉ 下の地図の青線になっているルートだ。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
大きな地図で見る
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼. 京都発→名古屋→静岡→横浜→東京着。
| （__人__） | このルートがどうかしたのかお。
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） このルート、うねうねと曲がっているだろう。
. | （__人__）
| ｀ ⌒´ﾉ こういう線のことを「曲線」という。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼. そんなことくらい、やる夫にも分かるお。
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●）
. | （__人__） よし、じゃあこの青いルートの一部を拡大してみてくれ。
| ｀ ⌒´ﾉ
. | } 拡大する場所はどこでもいい。
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
大きな地図で見る
┏──────────────────────────────────────────┓
│ .＿ ﾉ:） │
│ ....／: : : : : ヽ、 │
│ ｒ''"´:}: : :∧: :,ｲ:ﾄ:7 │
│ ヽ:,.: ::}: ｲ┃ ┃!:|} 【補足】 │
│ ヽ: : ト,ト-只-'ζ │
│ ..`' rくヽo| グーグルマップの仕様が記事の制作当時と変わってしまい、 │
│ | |: :|o| │
│ | |: :|o| 地図を拡大した状態で表示できなくなってしまいました。 .│
│ ..⊂ﾉ:┼く｀ゝ │
│ ....｀`TTT ´ お手数ですが、地図上の青い線をどこでもいいので少し拡大してみて下さい。 │
│ ..|::|::| │
│ ..|::|└┐ │
│ ..|;;| ￣ │
┗──────────────────────────────────────────┛
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼. 少し拡大したけど、まだ青い線は曲がっているお。
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） さらに目いっぱい拡大してみてくれ。
. | （__人__） ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
| ｀ ⌒´ﾉ やる夫、まだ青いルートはまだ曲がったままか？
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
大きな地図で見る
┏─────────────────────────────────────┓
│ ＿ ﾉ:） │
│ ／: : : : : ヽ、 │
│ ｒ''"´:}: : :∧: :,ｲ:ﾄ:7 │
│ ヽ:,.: ::}: ｲ┃ ┃!:|} 【補足】 │
│ ヽ: : ト,ト-只-'ζ │
│ ...`' rくヽo| 地図上の青い線をどこでもいいので目一杯拡大してみて下さい。..│
│ .| |: :|o| │
│ .| |: :|o| 目一杯拡大したとき、青い線はどうなっていますか？ .│
│ ...⊂ﾉ:┼く｀ゝ │
│ ｀`TTT ´ │
│ |::|::| │
│ |::|└┐ │
│ |;;| ￣ │
┗─────────────────────────────────────┛
＿＿＿_ ,
／ ＼ -
／ ― ― ＼`
・・・あれ？まっすぐになったお。 ／ （● ） （● ） ＼
| （__人__） |
＼ ｀⌒´ ／
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） だろ。
. | （__人__） こんな風に曲線を拡大していくと、いつかは直線になる。
| ｀ ⌒´ﾉ そして直線になったときの傾きを調べるのが微分だ。
. | }
. ヽ } つまり曲線を細かく分けて、その傾きがナンボなのか
ヽ ノ それを調べるのが微分だと俺は解釈している。
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼ ふーん。
／ （●） （●） ＼. ところで傾きって何だお？
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●）
. | （__人__） 傾きっていうのは、新幹線の進む方向だと思ってくれ。
| ｀ ⌒´ﾉ
. | } こんな感じで対象物を拡大していくのは
. ヽ }
ヽ ノ 顕微鏡でミクロの世界を覗き込むのに似てるだろ。
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼ ふーん。
／ （●） （●） ＼. 微分のビは顕微鏡のビと似たもの同士かお。
| （__人__） | でも y=x2を、y'=2xにするのが
＼ ｀ ⌒´ ／ 微分するということだって授業で習ったお。
／ ＼ xやyはどこにいったんだお？
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） うん、それについて今から説明する。
. | （__人__） やる夫の言ったy=x2というのは方程式のことだ。
| ｀ ⌒´ﾉ この式にx=1を代入すると、y=1になり、
. | } x=2を代入すると、y=4になる。
. ヽ }
ヽ ノ 誰でも数学の教科書で一度は見たことがあるだろ。
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼. そうだお。それで苦労してるんだお。
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●）
. | （__人__） 次に下の図を見て欲しい。
| ｀ ⌒´ﾉ 下に凸の曲線（放物線）があるだろう。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼. これがどうかしたのかお？
| （__人__） | ただの図形じゃないかお。
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） そのとおり。ただの図形だ。
. | （__人__） じゃあ最後に座標系というものを紹介する。
| ｀ ⌒´ﾉ 座標系というのは下の図のようなものだ。
. | } 横軸をx軸、縦軸をy軸と呼んでいる。
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
直交座標系
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼. よくグラフを描くときに使うやつだお。
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） この座標系に、さっきのy=x2という
. | （__人__） 方程式を当てはめてみる。
| ｀ ⌒´ﾉ x=1のとき、y=1になり
. | } x=2のとき、y=4となる。
. ヽ } これをx=3のとき、x=4のとき…と繰り返し、
ヽ ノ それぞれの点を座標系に書き込んでいく。
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●）
. | （__人__） そして、こうした点を結んでいくと、あら不思議。
| ｀ ⌒´ﾉ 座標系に下に凸の曲線が出現する。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿_ ,
／ ＼ -
／ ― ― ＼` お、教科書に出てくるグラフだお。
／ （● ） （● ） ＼
| （__人__） |
＼ ｀⌒´ ／
／￣￣＼
／ _ノ ＼ そうだ。
| （ ●）（●） 放物線という図形と、y=x2という方程式が
. | （__人__） 座標系によって結びつくことができるようになったんだ。
| ｀ ⌒´ﾉ こうして「グラフ」が誕生した。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
数学とは、無知の海に浮かぶ知識の島々からなる世界に例えられる。グラフが発明されるまで、図形を扱う幾何学の島は周囲から孤立していた。
,へ^;,ﾍへ、
´｀^＾i1＾v~ヽ ﾎﾟﾂｰﾝ
!|i
||ﾟ
_＿_｣Ｌ＿＿&／ヽ、
.:.:.／￣ ￣＼;:...;:.:.:.:.:.:.....:.:.:.........:.:.:.
.:...＾.^図形を扱う幾何学:^＾~.:.:.:.:.::::.:.::^::::... :. :.:.. .:.:
:::::::::::::::::::::::::::::,::::::::::::､::::::::::,::::::::::::....:.:.:......:.:.:....:.:.
しかし、座標系という架け橋ができたことにより、図形を扱う幾何学の世界と方程式を扱う代数学の世界が結びつくことができた。
,へ^;,ﾍへ、
´｀^＾i1＾v~ヽ ヾ。 ﾊﾛｰ! ,へ^;,ﾍへ、
!| Я ´｀^＾i1＾v~ヽ
|| !! ／￣￣￣￣￣＼ ||
_＿_｣Ｌ＿＿& ／ ＼ _＿_｣Ｌ＿＿＿
.:.:.／￣ ￣＼;:...;:.:.:.:.:.:........:.:...:.:.／￣ ￣＼
.:...＾.図形を扱う幾何学^＾~.:.:.:.:.::::.:.::＾.^:ｰ.:方程式を扱う代数学....:^＾~
:::::::::::::::::::::::::::::,::::::::::::､::::::::::,::::::::::::....:.:.:......:.:.:....:.:.::::....:.:.:::::::::::::
数学における橋には莫大な価値がある。
橋が架かれば別々の島の数学者同志が、お互いにアイディアを交換し合ったり、調べたりできるようになるからだ。
,へ^;,ﾍへ、
´｀^＾i1＾v~ヽ 。x。ｶﾞｼｯ!! ,へ^;,ﾍへ、
!| R Я ´｀^＾i1＾v~ヽ
|| ／￣￣￣￣￣＼ ||
_＿_｣Ｌ＿＿ ／ ＼ _＿_｣Ｌ＿＿
.:.:.／￣ 幾何学 ￣＼;:...;:.:.:.:.:.:......:.:.....:.:.／￣ 代数学 ￣＼
.:...＾.^:ｰ.:.:.:.:...::.:.:.:..:.:.:^＾~.:.:.:.:.::::.:.::::.:...＾.^:ｰ.:.:.:.:...::.:.:....:.:..:......:.:.:.:.:^＾~
こうして座標によって図形と方程式が結びついた。方程式を使って図形の性質を研究することができるようになり、幾何学の問題を代数として解けるようになったのである。
＿＿＿_
／ ＼
／ ─ ─＼
／ （●） （●） ＼
| （__人__） | y=x2は下に凸の曲線（放物線）を意味する。
/ ∩ノ ⊃ ／ これが分かったのはグラフのおかげ。
( ＼ ／ ＿ノ | | そういうことかお？
.＼ “ ／＿＿| |
＼ ／＿＿＿ ／
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） 俺はそういう風に理解している。
. | （__人__） そしてy=x2という曲線の傾きを求めるのが微分だ。
| ｀ ⌒´ﾉ こういう曲線を拡大していくと、いつかは直線になる。
. | } その直線になったときの傾きを求めるんだ。
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼ ふーん。
／ ─ ─ ＼ 新幹線のルートを拡大すると直線になるのと同じかお？
／ （●） （●） ＼.
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） そんなもんだと思う。
. | （__人__） 実は新幹線のルートを目いっぱい拡大したときの図は、
| ｀ ⌒´ﾉ その瞬間での新幹線の進む方向を表しているんだ。
. | }
. ヽ } 桃配公園付近だと新幹線は北東方向に進むって具合にな。
ヽ ノ （右肩上がり
![](data:image/svg+xml,<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15" height="15"><rect fill-opacity="0"/></svg>)
）/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
大きな地図で見る
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） それじゃあ次のグラフを見てくれ。
. | （__人__） 青い曲線の上を、直線が動いてるのが分かるだろ。
| ｀ ⌒´ﾉ この直線はある一点での曲線の傾きを表しているんだ。
. | } この直線のことを接線という。
. ヽ }
ヽ ノ ちなみに青い曲線と接線以外は無視していいからな。
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿_
／⌒ ⌒＼ 青いレールの上を新幹線が走ってるみたいだお！
／（ ●） （●）＼ 接線の傾き具合はある瞬間に新幹線が進む方向かお？
／::::::⌒（__人__）⌒:::::＼
| `ー'´ |
/ ∩ノ ⊃ ／
( ＼ ／ ＿ノ | |
.＼ “ ／＿＿| |
＼ ／＿＿＿ ／
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） そういうこと。
. | （__人__） ちなみに瞬間というのは限りなく0に近いけど、
| ｀ ⌒´ﾉ 完全には0ではない間隔のことだ。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼ 限りなく0に近いけど、完全には0ではない間隔…
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） イメージしづらいかもしれないけれど、
. | （__人__） 要するに、ものすごく短い間隔のことだ。
| ｀ ⌒´ﾉ
. | } そして、このものすごく短い間隔においては
. ヽ } 曲線を直線(接線)で近似できるんだ。
ヽ ノ
/ く ちなみに、このすごく短い間隔のことを微小区間という。
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼. 日本語でおｋ
| （__人__） | 微小区間？曲線を直線(接線)で近似？
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） これは言葉で説明するよりも
. | （__人__） 実際にグラフを見たほうが早い。
| ｀ ⌒´ﾉ
. | } ためしにy＝x2のグラフに接線を引いてみよう。
. ヽ } y＝x2のグラフ上の点(1,1)における接線を引いてみる。
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
![20091015235312d9a.jpg](data:image/svg+xml,<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="873" height="873"><rect fill-opacity="0"/></svg>)
y＝x2の点(1,1)における接線
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼ 緑色の直線が
／ （●） （●） ＼. 曲線y＝x2上の点(1,1)での接線かお？
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） そうだ。
. | （__人__） パッと見た感じでは曲線y＝x2と接線は別物だ。
| ｀ ⌒´ﾉ でも、次に点(1,1)付近を拡大した下の図を見てくれ。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） まだだな。もう少し拡大する。
. | （__人__）
| ｀ ⌒´ﾉ
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿_ ,
／ ＼ -
／ ― ― ＼` お、一本の直線になったお。
／ （● ） （● ） ＼
| （__人__） |
＼ ｀⌒´ ／
／￣￣＼ そう。接点である点(1,1)付近を拡大し続けると
／ _ノ ＼ 曲線y＝x2と接線が一本の直線として重なるんだ。
| （ ●）（●）
. | （__人__） つまり、ある瞬間では曲線に一点で接する接線と
| ｀ ⌒´ﾉ 曲線y＝x2を拡大していったときに現れる直線が
. | } ほぼ同じものになるんだ。
. ヽ }
ヽ ノ これが「微小区間においては曲線を直線(接線)で近似できる」
/ く ということなんだ。
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿_
／⌒ ⌒＼ そして、曲線を拡大して直線になったとき
／（ ●） （●）＼ その直線の傾きを求めることが微分するということ…？
／::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼
| |r┬-| |
＼ `ー'´ ／
／￣￣＼ 俺はそういう風に理解している。
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） 「グネグネ曲がって分かりにくい曲線を
. | （__人__） まっすぐで分かりやすい直線に近づけて考えよう。
| ｀ ⌒´ﾉ そうすれば元の曲線の性質が良く分かるんじゃないか？」
. | } というのがそもそもの微分のアイディアなんだ。
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼ ふーん。
／ （●） （●） ＼. でもy=x2を微分したら
| （__人__） | y'=2xになるんじゃないのかお？
＼ ｀ ⌒´ ／ ていうかy'=2xってそもそも何だお？
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼ y'=2xってのはy=x2の傾きを抽出したものだ。
| （ ●）（●） 例えるならy=x2のエッセンスみたいなものだ。
. | （__人__）
| ｀ ⌒´ﾉ
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼ y'=2xはy=x2のエッセンス？
／ （●） （●） ＼. 傾きを抽出ってどういう意味だお。
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼ さっきはy＝x2上の点(1,1)での接線を引いたよな。
| （ ●）（●） 今度は点(2,4)での接線を引いてみる。
. | （__人__） さっきのと比較してみると何かに気付かないか？
| ｀ ⌒´ﾉ
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
y＝x2上の点(2,4)における接線
y＝x2の点(1,1)における接線
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼ 点(2,4)での接線の方が傾きが急…？
／ （●） （●） ＼.
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼ そうなんだ。
| （ ●）（●） 同じy＝x2上の点でも
. | （__人__） 場所によって接線の傾きが変わってくるんだ。
| ｀ ⌒´ﾉ 傾きの数字が大きいと傾きは急になる。
. | } 右肩上がり
なら傾きの値はプラス（正）. ヽ } 右肩下がり
なら傾きの値はマイナス（負）ヽ ノ 一方、傾きが0だと平坦になる。
/ く
| ＼ 他の場所の接線の傾きも下に示したから見てみてくれ。
| |ヽ、二⌒)
x の値 -2 -1 0 1 2
接線の傾き -4 -2 0 2 4
![Polynomialdeg13](data:image/svg+xml,<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="407" height="406"><rect fill-opacity="0"/></svg>)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼. xの値が変わると
| （__人__） | それにつられて接線の傾きも変わるのかお？
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼ そのとおり。
| （ ●）（●） こういう風に何かが変わると
. | （__人__） それにつられて別の何かが変わる関係を関数という。
| ｀ ⌒´ﾉ
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼ でも、なんで傾きが2とか4とか分かったんだお？
／ （●） （●） ＼.
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼ そうだな・・・
| （ ●）（●） まず「傾き」をもう一度説明する。
. | （__人__） 下の図でも示しているんだけど、
| ｀ ⌒´ﾉ 傾きというのは縦を横で割ったものだ。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼. 傾きは縦を横で割ったもの…
| （__人__） |
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） とりあえずy＝x2上の点(2,22)における
. | （__人__） 接線の傾きを計算してみる。
| ｀ ⌒´ﾉ この時の接線の傾きはy＝x2上の点(2,22)付近を
. | } 拡大した時に現れる直線の傾きと同じだ。
. ヽ } だからy＝x2上の点(2,22)付近を拡大する。
ヽ ノ
/ く そして点(2,22)からほんの少しだけ離れた所から線を引く。
| ＼ その線の傾きが点(2,22)における接線の傾きとなる。
| |ヽ、⌒)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼ 意味不明。説明長すぎ。
／ （●） （●） ＼ .ほんの少しだけ離れた所から線を引く？
| （__人__） | ほんの少しって、どのくらい少し何だお？
＼ ｀ ⌒´ ／
／ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼ ほんの少しはほんの少しだ。
| （ ●）（●） そのほんの少しだけ離れた所から線を引くとする。
. | （__人__） すると、点(2,22)と点(2＋ほんの少し、(2＋ほんの少し)2)
| ｀ ⌒´ﾉ との間は下の図のようになる。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
／￣￣＼
／ _ノ ＼ この場合、
| （ ●）（●） タテは「 (2＋ほんの少し)2－22」
. | （__人__） ヨコは「 2＋ほんの少し－2＝ほんの少し」
| ｀ ⌒´ﾉ 傾きはタテをヨコで割ったものだから、
. | }
. ヽ } 傾き = (2＋ほんの少し)2－22
ヽ ノ ほんの少し
/ く
| ＼ = 22＋2×2×ほんの少し＋(ほんの少し)2－22
| |ヽ、二⌒) ほんの少し
まず、分子の22－22が相殺されて無くなる。
=
ほんの少し
= 4×ほんの少し＋(ほんの少し)2
ほんの少し
さらに、分子と分母の(ほんの少し)が相殺されて無くなる。
= 4
傾き = 4＋(ほんの少し)
／￣￣￣＼
／ ─ ─ ＼
／ （●） （●） ＼ .y＝x2上の点(2,22) における
| （__人__） | 接線の傾きは 4＋(ほんの少し)
＼ ｀ ⌒´ ／ …いや、だからほんの少しって何なんだお？
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） あぁ、その（ほんの少し）っていうの無視していいぞ。
. | （__人__） だからy＝x2上の点(2,22)における
| ｀ ⌒´ﾉ 接線の傾きは 4 だ。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿_ ,
／ ＼ -
／ ― ― ＼` 無視して・・・いいのかお？
／ （● ） （● ） ＼
| （__人__） |
＼ ｀⌒´ ／
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） だって、ほんの少しだろ。
. | （__人__） ほとんど0なんだから別に無視したっていいじゃないか。
| ｀ ⌒´ﾉ
. | } じゃあ、やる夫、
. ヽ } 今度はお前がy＝x2上の点(1,12)における
ヽ ノ 接線の傾きを計算してみるんだ。
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿_
／::::::::::::::::＼
／::::::─三三─＼
／:::::::: （○ ）三（○ ）＼ ウゲッ、マジかお！？
|::::::::::::::::::::（__人__）:::: |
＼::::::::: |r┬-| ,／
ノ:::::::::::: `ー'´ ＼
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） さっき俺が計算したようにやればいいぞ。
. | （__人__） まずは点(1,12)から
| ｀ ⌒´ﾉ ほんの少し離れた所から線を引くことを考えるんだ。
. | }
. ヽ }
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿_
／ ＼ タテは「 (1＋ほんの少し)2－12」
／ ＼ ,＿＼ ヨコは「 1＋ほんの少し－1＝ほんの少し」
／ （●）゛ （●） ＼ 傾きはタテをヨコで割ったものだから、
| ∪ （__人__） |
/ ∩ノ ⊃ ／ 傾き = (1＋ほんの少し)2－12
( ＼ ／ ＿ノ | | ほんの少し
.＼ “ ／＿＿| |
＼ ／＿＿＿ ／ = 12＋2×1×ほんの少し＋(ほんの少し)2－12
ほんの少し
まず、分子の12－12が相殺されて無くなる。
=
ほんの少し
= 2×ほんの少し＋(ほんの少し)2
ほんの少し
さらに、分子と分母の(ほんの少し)が相殺されて無くなる。
= 2
傾き = 2＋(ほんの少し)
＿＿＿_
／ ＼
／ ＼ ,＿＼
／ （●）゛ （●） ＼ ほんの少しは無視してOKだから、傾きは2。
| ∪ （__人__） | y＝x2上の点(1,12)における
/ ∩ノ ⊃ ／ 接線の傾きは 2 だお！
( ＼ ／ ＿ノ | |
.＼ “ ／＿＿| |
＼ ／＿＿＿ ／
／￣￣＼
／ ⌒ ＼
| （ ●）（●） 大正解！。
| （__人__） やればできるじゃないか。
＊ | ｀ ⌒´ﾉ ∩_
| } | Ｅ) ＊
ヽ } / /
_ヽ ノ／ .ノ ＋
／ .. ..／ +
／ / /＊
＿＿＿
／ ＼
／ ＼ そうだお！
／ ⌒ ⌒ ＼ やる夫はやればできるんだお。
| /// （__人__） /// |
. (⌒) (⌒)
./ i＼ ／i ヽ
／￣￣＼
／ ⌒ ＼
| （ ●）（●） ところでやる夫、
| （__人__） y＝x2上のどの座標でも接線の傾きが分かる式が
| ﾉ あるんだが、知りたくないか？
| ∩ノ ⊃ }
/ヽ ／ ＿ノ }
( ヽ / / ノ
ヽ “ /＿| |
＼＿_/＿＿ /
＿＿＿_
／⌒ ⌒＼ そんな便利な式があるのかお。
／（● ） （● ）＼ それなら傾き求め放題だお！
／::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼ やらないお、早く教えるお。
| |r┬-| |
＼ `ー'´ ／
／￣￣＼
／ ⌒ ＼
| （ ●）（●） 実はもうやる夫は知っているはずなんだ。
| （__人__） y＝x2を微分したらどうなる？
| ﾉ
| ∩ノ ⊃ }
/ヽ ／ ＿ノ }
( ヽ / / ノ
ヽ “ /＿| |
＼＿_/＿＿ /
＿＿＿_
／⌒ ⌒＼ y＝x2を微分したらy'=2x になるお。
／（● ） （● ）＼
／::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼
| |r┬-| |
＼ `ー'´ ／
／￣￣＼
／ ⌒ ＼ そのとおり。
| （ ●）（●） そのy'=2xってのがy＝x2上の
| （__人__） どの座標でも接線の傾きが分かる式なんだ。
| ﾉ
| ∩ノ ⊃ } このy'ってのが接線の傾きを表している。
/ヽ ／ ＿ノ } 例えばx＝1の時、y'=2 。つまり、接線の傾きは2だ。
( ヽ / / ノ
ヽ “ /＿| |
＼＿_/＿＿ /
＿＿＿_
／⌒ ⌒＼ おお、すごいお。
／（● ） （● ）＼ x＝2の時なら、y'=4 。つまり、接線の傾きは4。
／::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼ さっき求めた傾きの値と同じだお！
| |r┬-| |
＼ `ー'´ ／
／￣￣＼ y'=2xは自分で導き出すこともできる。
／ ⌒ ＼ 例えばさっきと同じやり方だと、
| （ ●）（●） タテは「 (x＋ほんの少し)2－x2」
. | （__人__） ヨコは「 x＋ほんの少し－x＝ほんの少し」
| ｀ ⌒´ﾉ 傾きはタテをヨコで割ったものだから、
. | }
. ヽ } 傾き = (x＋ほんの少し)2－x2
ヽ ノ ほんの少し
/ く
| ＼ = x2＋ 2x (ほんの少し)＋(ほんの少し)2－x2
| |ヽ、二⌒) ほんの少し
まず、分子のx2－x2が相殺されて無くなる。
=
ほんの少し
= 2x (ほんの少し)＋(ほんの少し)2
ほんの少し
さらに、分子と分母の(ほんの少し)が相殺されて無くなる。
= 2x
傾き = 2x＋(ほんの少し)
(ほんの少し) は無視していいので消す。
傾き = 2x
y'は接線の傾きを表すので、
y' = 2x となる。
あとは x に好きな値を放り込めば、その時その時の接線の傾きが求められる。
／￣￣＼
／ ⌒ ＼ このようにして求めた傾きの値を
| （ ●）（●） y＝x2のグラフと一緒にすると、
| （__人__） 下のグラフのようになる。
| ﾉ
| ∩ノ ⊃ }
/ヽ ／ ＿ノ }
( ヽ / / ノ
ヽ “ /＿| |
＼＿_/＿＿ /
x の値 -2 -1 0 1 2
接線の傾き(y') -4 -2 0 2 4
＿＿＿_
／⌒ ⌒＼
／（● ） （● ）＼ 緑色の直線がy'=2xかお。
／::::::⌒（__人__）⌒::::: ＼ y'=2xはy=x2の傾きを抽出したもの。
| |r┬-| | つまりy'=2xはy=x2のエッセンスなんだお。
＼ `ー'´ ／
／￣￣＼
／ ⌒ ＼ そのとおり。
| （ ●）（●） ようやくやる夫は微分の世界の入り口に辿り着いたな。
| （__人__）
| ﾉ
| ∩ノ ⊃ }
/ヽ ／ ＿ノ }
( ヽ / / ノ
ヽ “ /＿| |
＼＿_/＿＿ /
＿＿＿
／ ヽ､_ ＼
／（● ） （● ） ＼ まだ入り口かお。
／:::⌒（__人__）⌒::::: ＼ 一体微分の世界はどこまで複雑なんだお。
| ｌ^l^lｎー'´ | どこの偉い人だか知らないけど、
＼ヽ L ／ なんで数学なんかつくったんだお。
ゝ ﾉ
／ /
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） それは誤解だぞ、やる夫。
. | （__人__） 数学は、複雑でわけの分からないこの世界を
| ｀ ⌒´ﾉ 少しでも分かりやすくするために生まれたんだ。
. | }
. ヽ } このことは積分の歴史にも関係する。
ヽ ノ
/ く
| ＼
| |ヽ、二⌒)
＿＿＿_ ,
／ ＼ -
／ ― ― ＼` そういえばまだ積分があったお。
／ （● ） （● ） ＼
| （__人__） |
＼ ｀⌒´ ／
／￣￣＼
／ ＼ ＿＿＿_
|:::::: ｜ ／ ＼
. |::::::::::: ｜ ／ ⌒ ⌒ ＼
|::::::: ｜／ （●） （●） ＼ というわけで教えてくれお。
. |:::::::::::::: } | （__人__） |
. ヽ:::::::::::::: } ＼ ｀ ⌒´ _／
ヽ:::::::::: ノ | ＼
/:::::::::::: く | | | |
-―――――|:::::::::::::::: ＼-―┴┴―――――┴┴――
.＿
＼ヽ, ,、
`''|/ﾉ
.|
＿ |
＼｀ヽ、|
＼, V
`L,,_
|ヽ､) ,､
/ ヽYﾉ
/ r''ヽ、.|
| `ｰ-ヽ|ヮ
| `| ーーー
| `ｰ-ヽ|ヮ ノ
| `| ノ
|. |
ヽ、 | ーーー ヽヽ
ヽ＿＿＿_ﾉ ノ
／..::::::::::::::..＼ ノ
／..:::::::::::::::::::::::::.＼
／..::::::::::::::::::::::::::::::::::::.＼ ／
| :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: | (
＼:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::／ ＼
,. -‐'´..:::::::::::::::::::::...｀丶､
