質問です。

朱印に「奉拝」や「社寺名」や「社寺印」があれば、信仰的な意味を持ち、賜るに値すると考えます。

ネットで見てみました。
悪いとは言いません。
だいぶ、御朱印ブームに乗っかった、軽い感じの御朱印が多いですね。

御朱印の主体は朱印です。それ以外の書入れはおまけだと思っています。
西国の巡礼が始まったころは朱印しか押してもらえなかったようです。
でも、それだと何処のお寺かわからないので書き入れが始まったようです。
お寺系の朱印には仏様の梵字の入った宝印や、三宝印（禅宗で多い、丸や四角の印）が押されます。
龍王剣と書き入れされた御朱印の朱印はどうなのか？
白滝不動尊ならば、不動明王の梵字が入ってもおかしくありませんが・・・。

きちっと、納経して、ご本尊の前でお経を読誦したら、どんな朱印が頂けるか試してみたいものです。

神社は参拝しご縁になるものといわれますね。

お寺もですが、大事なのは朱印です。神社では「神璽」と、社務所の角印が押される所もあります。
神璽は御神札にも押されるものです。

先の践祚で今上陛下がご継承された中に、執務でお使いになる「御璽」がありました。
日本は印鑑社会で印泥という朱肉で璽を押したものが正式と思います。

その前に、お参りに足を運べばご縁に繋がりますよ。

公式サイトには10種の御朱印と40種の「はさみ紙(無料)」があり、和尚おひとりなので不在のカレンダーも掲載されています。ご覧になったのは、はさみ紙ではないでしょうか。

仏像もたくさんありますから、以下のURLからよくご覧になってお運びください。
https://jyouhoji.jiin.com/