こんにちは、数学好きの108Hassiumです。
「数学好き」というと、「数学が得意」とか「研究者？」とか勘違いされることがたまにありますが、私は別に特技を自慢したいわけでも最先端の内容を追っているわけでもありません。
道なき道を行く数学者を「登山家」に例えるならば、私はただの散歩好きのようなもの。
ただ舗装されきった道を歩き回り、「ここにはこんなものがあるんだ」とか「ここはこことつながってるんだ」みたいな楽しみ方をしています。
しかし、そんな私でもいつの間にか見知らぬ場所を歩いていたり、時には未開の地へと続く道へ足を踏み入れてしまうことがあります。
というわけで、「簡単そうな問題について考えてたらめっちゃ難しそうな話になった」という体験談を3つ紹介します。
連分数
皆さんは「連分数」というものをご存知でしょうか。
こういうやつです。
要するに分数の中に分数が入ったやつです。
ちなみに、上の例の式はを表しています。
式を途中で切って計算してみると、確かにに近づいていきます。
この例からわかる通り、連分数は単純な式が意外な値に収束することがよくあります。
そこで、私はこんなことを考えました。
「ってどんな値？」
先程の例では左端の数は1,1,1,1...と一定でしたが、今度は1,2,3,4...と増えていきます。
さっきやったように、式を途中で切って近似値を求めます。
1.4331ぐらいの値に収束するようです。
ではこれがどんな値なのか考えましょう。
まずは先ほどのという式がどうやってできたか説明します。
と置くと、が成り立ちます。
この式を整理するととなり、2次方程式の解の公式を使うととなります。
は正の値なのでとなります。
では、この手順を使っての正体を暴きましょう。
まずと置くと、
...?
...無理じゃん。
あのやり方は左端の列に周期性がある場合しか使えないようです。
というわけで、手も足も出ないので適当なワードでググります。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12117863097?__ysp=6YCj5YiG5pWw
ありました。全く同じことを考える人っているんですね。
しかも都合のいいことに「解決済み」マークがついています。
どれどれ、ベストアンサーは...
...?
変形ベッセル関数？
微分方程式？？？
何？？？？？
なんかすっげぇ式が出てきましたが、結局「1.4331...がどういう値か」という問いに対して自分の理解できる範囲での結論は得られませんでした。
算術幾何平均
あれは確か、焼き肉屋での食事中。
ふと、こんな考えが頭に浮かびました。
「、とすると任意の初期値、に対して収束するのでは？」
...すみません、別に「難しいこと言って天才っぽく思われたい」とかそういうのじゃないんです。
「平均」ってご存知ですよね？
大抵の人は平均といえば「データを全部足して、データの個数で割った値」を思い浮かべると思いますが、その値には実は「算術平均」という名前がついています。
そして、わざわざ名前がついているということから想像できる通り、算術平均以外の平均値の定義が存在します。
例えば、「幾何平均」というのは以下の式で定義されます。
例えばの幾何平均はです。
さて、平均といえば「真ん中ぐらいの値」というイメージもあると思います。
実際、データが2つの場合の算術平均は「2数のちょうど真ん中」になりますが、幾何平均も2数の間の値になります。