第284回　音楽と数学：ピタゴラスの響き（後編）

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《ピタゴラスの響き》

六個目の音B$B$

ユーリ「五個の音だけでも、曲って作れるんだね（第283回参照）」

僕「そうだね。ここまでで3/2$3/2$倍を繰り返して五音が出来たから、同じことを続けていくんだろうけど……ユーリはそろそろ飽きてきたかな？」

ユーリ「やだなーおにいちゃんたらユーリはそんなにあきっぽくないしー」

僕「棒読みやめい……これが六個目の音だね」

ユーリ「飽きてこないけど、パターン見えてくるよね」

僕「パターンとは」

ユーリ「3/2$3/2$倍して、2$2$より大きくなったら2$2$で割る。その繰り返し。パターンじゃん？」

僕「そうだね。規則的に繰り返して音を作っていく。《ピタゴラス音階》を作っていく」

ユーリ「次のパネルはこれ？」

七個目の音F#$F\mathrm{\#}$

僕「これで七音」

ユーリ「ねーねー、ユーリ発見したかも。パターン！」

僕「お？」

ユーリ「パネルにしつこく『私たちはこれで……を手に入れました』って書いてあるじゃん？　作った順番が綺麗なパターンになってるよ！」

僕「どんなパターンだろう」

ユーリ「こんなの！　見て見て！」

ユーリ「ね？　ね？　下から順番に作られるんじゃなくて、上がって下がるのを繰り返すんだよ。何てゆーの……ぐるぐる？」

僕「ああ、ほんとだね。こんな風に行ったり来たりにも見える。ええと、それはなぜかというと……」

ユーリ「次のパネル行こ！　いよいよ八音目、到着だね！」

僕「おおい！」

八個目の音C#$C\mathrm{\#}$

ユーリ「ありり？」

僕「どんどん次のパネルに行くんじゃないの？」

ユーリ「これおかしくない？　1$1$オクターブって8$8$音だよね？　ド・レ・ミ・ファ・ソ・ラ・シ・ド……ほら8$8$音」

僕「そうだね。オクターブの名前の通り」

ユーリ「名前の通りって？」

テトラ「オクターブ（octave）の "oct-" というのは8$8$を意味するからですよね、先輩！」

僕「うわびっくりした！」

ユーリ「テトラさん！」

僕「まるでミルカさんみたいに突然登場したね！」

テトラ「違いますよう！　さっき二人を見つけて追いかけていたんですけど、急に走り出したりするので、なかなか追いつけなかっただけです。 人がいっぱいで……ところで、オクターブがどうしたんですか？」

ユーリ「あのね、1$1$オクターブって8$8$音だから、八個目の音を作ったら1$1$オクターブの音がぜんぶできると思ったの。でも、C#$C\mathrm{\#}$になっちゃった」

僕「ああ、それで数を数えてたんだ……テトラちゃんはもう《ピタゴラス音階》のパネルはぜんぶ見たの？」

テトラ「あっ、はい。そうです。なのでネタバレにならないように黙っていますねっ！」

ユーリ「テトラさん黙っちゃった……えーっと、八個目でC$C$にならないってことは、もっと進まないと1$1$オクターブ上には行けないんだね。8$8$音よりも多くなるんだ」

僕「F#$F\mathrm{\#}$やC#$C\mathrm{\#}$も出てきたからね……ああ、そうだよ。だって、ピアノの鍵盤を見ればわかる。1$1$オクターブにあるキーは、8$8$個じゃなくて12$12$個だ。黒鍵があるから」

ユーリ「あー、そだね。そんじゃ、3/2$3/2$倍を12$12$回繰り返せばいーんだ！」

テトラ「あっ、それはっ……（チャック）」

僕「うん？　いや、おかしいよ、ユーリ。それは違うはずだ」

ユーリ「なんで？　あーそっか。《3/2$3/2$倍を繰り返す》んじゃなくて《3/2$3/2$倍して、オクターブ越えるときにはさらに1/2$1/2$倍する》のを12$12$回繰り返すんだね！　そーすれば、1$1$オクターブ上の音までたどり着いて《ピタゴラス音階》が完成！　キーボードの12$12$音も完成！」

僕「いや、そうはならないよ。12$12$回繰り返しても1$1$オクターブ上には絶対行けないはずだ」

ユーリ「は？　なに言ってるデスカ？」

存在しない音

僕「《ピタゴラス音階》を作る方法としてここまで使ってきたのは、最初の音C$C$を決めること、周波数を3/2$3/2$倍すること、 それから場合によって周波数をさらに1/2$1/2$倍することだけだった」

ユーリ「うん」

僕「1/2$1/2$倍するのが場合によって変わるから複雑に見えるけど、最初の音を決めた後にできることは《周波数を3m/2n$3^m/2^n$倍していくこと》だよね。 m$m$とn$n$は1$1$以上の整数で、しかもm≦n$m\leqq n$だった。m$m$とn$n$は場合による」

テトラ「ですねっ！」

ユーリ「《周波数を3m/2n$3^m/2^n$倍していくこと》……そだね。それで？」

僕「でもね、

を満たすm,n$m,n$の組は存在しないんだよ！　絶対に3m/2n=2$3^m/2^n=2$になることはない。 だから、僕たちがやってきた新しい音を作る方法を12$12$回繰り返しても、周波数は2$2$倍にならないんだ」

ユーリ「あ……」

僕「12$12$回どころじゃない。何百回、何千回繰り返したとしても、周波数は2$2$倍にならない。周波数を3m/2n$3^m/2^n$倍して作れる音は無数にあるけれど、 その中に最初の音の2$2$倍の周波数を持つ音は存在しない」

ユーリ「えーと、ちょっと待って。『3m/2n=2$3^m/2^n=2$を満たすm$m$とn$n$はない』ってホント？」

僕「ほんとうだね。なぜなら、3m/2n=2$3^m/2^n=2$は、

と書けるけど、ここでm$m$とn$n$が1$1$以上の整数なら、左辺は奇数で右辺は偶数になる。奇数と偶数は等しくならない」

テトラ「1$1$オクターブ上の音はできませんし、同じことですけど最初の音に戻ってくることもありませんね」

僕「うん、うん、そうなる。だって、周波数を3m/2n$3^m/2^n$倍して最初の音に戻るってことは、最初の音の1$1$倍の周波数になるということだから、

だ。つまり、 が成り立つようなm$m$とn$n$の組が必要。でも、そんな組はない」

ユーリ「わかったけど、わかったけど……だったらどーなんの？　《ピタゴラス音階》は音階になんないじゃん。どーするピタゴラス？」

僕「いや、音階にならないわけじゃないよ。《周波数を3m/2n$3^m/2^n$倍する方法》ではオクターブは作れないだけだから。 作ることができた音を使えばいい」

ユーリ「うー……それでいーの？　お兄ちゃん、パネル飛ばして十二個目の音を見に行こーよ！　そこでは何が起きてんの？！」

十二個目の音F$F$

ユーリ「うわ、一気に増えてる」

僕「途中を飛ばしてきたからだよ」

ユーリ「あ、十二音目まではうまくいくんだ。問題は次の音なんだね」

僕「というか、次の音を作るステップというのは、必ずうまくいくはずだよ。最後に作った音と協和するように次の音を作ってきたんだから。 完全5$5$度だっけ」

テトラ「完全5$5$度と完全4$4$度ですね」

ユーリ「うーわかんなくなってきた。早く、十三音目に行こうよ！　いったい、何が起きるの？！」

十三個目の問題

僕「……」

テトラ「……」

ユーリ「……」

僕「なるほど。まったく同じ方法で十三個目の音を作ろうとすると、

になる。 だから、音C$C$より高いけれど、1$1$オクターブ高くはない。 音C$C$の周波数の1$1$倍なら同じ音になるんだけど、1.0136⋯$1.0136\cdots$倍か……」

テトラ「きれいに協和する完全5$5$度と完全4$4$度を作る操作を12$12$回繰り返すと、何となくきちんと最初の音に戻ってきそうですが、ちょっと高くなっちゃうんですね」

ユーリ「なんでバシッとキマらないかなー！　すごく惜しーなー！」

僕「惜しいといっても、計算してそういうずれが出てしまうんだからしょうがないね。最初の音に戻るとか、ちょうど1$1$オクターブ上の音になるというのは勝手な思い込みということか」

ユーリ「でもさー、きっちりしたオクターブが作れないってことは、協和しなくなるってことじゃん！」

僕「ああ……確かにそうなるね。完全5$5$度と完全4$4$度の音程差がある音を順次作っていった結果、完全8$8$度が作れなくなったわけか」

テトラ「先輩、先輩。こちらに《ピタゴラス音階》を作っていく表があります」

僕「ああ、なるほど。最初からこの表を見にくればよかったなあ」

ユーリ「この表は何なの？」

僕「下が低い音、上が高い音で、半音ずつ上がっている。左から右に見ていくと、どういう順番で音を作って来たかがよくわかる。矢印を描いてみよう。 周波数を3/2$3/2$倍すると赤い実線の矢印で音が高くなる。 でも音がオクターブを越えて高くなったら1/2$1/2$倍するのが青の点線矢印」

ユーリ「なーるほど。ユーリが見つけたパターンだとこーなるね！」

僕「そうなる。そして問題は左下と右下の音C$C$だよ。左下の赤い丸で囲んだのが最初の音C$C$で、右下の青い星で囲んだのが十三音目の音C$C$だ」

テトラ「その二つの音の周波数が等しくないということなんですね……」

ユーリ「うわー……」

テトラ「こちらにピタゴラスコンマの解説パネルがあります」

ユーリ「ぴたごらすこんま！　名前があるんだ！」

僕「そうか、ここでいう《違い》は周波数の比になるわけか」

ユーリ「え？」

僕「日本語で《違い》というと、差を意味することもある。でもここでは比の意味」

ユーリ「よくわかんない」

僕「難しい話を言ってるわけじゃないよ。《最初の音の周波数》をC1$C_1$で表して、《十三音目の周波数》をたとえばC13$C_{13}$で表したとする。 ピタゴラスコンマは312/219$3^{12}/2^{19}$だから、

になるって言っただけ。もしもピタゴラスコンマが1$1$だったら《違い》はまったくなかったんだけどね。 C1×1=C13$C_1\times 1=C_{13}$になってたわけだから。 でも、実際はピタゴラスコンマは、 という値。1$1$よりもちょっぴり大きい」

ユーリ「比の意味、わかった。いままでずっと周波数を3$3$倍したり1/2$1/2$にしてきたんだから、ぜーんぶ掛け算の話だもん。 それにしても、この《小さい違い》はどーすんの？」

テトラ「……それでいいんでしょうか」

ユーリ「テトラさん、それって？」

テトラ「あたしたちは計算の方法を知りましたよね」

ユーリ「？」

テトラ「計算の方法を知ったということは《小さい》ではなくて《どのくらい小さい》と言えるようになったはずだと思うんです。なので、ピタゴラスコンマはどのくらい小さいのかな……と」

ユーリ「あっ！　定量的な議論ってやつ？！　（第282回参照）」

僕「なるほど……」

（第284回終わり。第285回へ続く）

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