４次方程式解の公式

４次方程式
$$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$$
の両辺を、$a$でわると、
$$x^4+\frac{b}{a}{x}^3+\frac{c}{a}{x}^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0$$
となり、それぞれの係数を文字で置き換えて、
$$x^4+A{x}^3+B{x}^2+Cx+D=0$$
とできる。ここで、$y=x+\frac{1}{4}A$ で置き換えて、式変形していくと、
$$\begin{array}{cc}（左辺）& ＝{(y-\frac{A}{4})}^4+A{(y-\frac{A}{4})}^3+B{(y-\frac{A}{4})}^2+C(y-\frac{A}{4})+D\\ & \\ & =y^4-A{y}^3+\frac{3}{8}{A}^2{y}^2–\frac{1}{16}{A}^{3}y+\frac{1}{256}{A}^4+A{y}^3-\frac{3}{4}{A}^2{y}^2\\ & +\frac{3}{16}{A}^{3}y–\frac{1}{64}{A}^4+B{y}^2–\frac{1}{2}ABy+\frac{1}{16}{A}^{2}B+Cy-\frac{1}{4}AC+D\\ & \\ & =y^4+(\frac{3}{8}{A}^2–\frac{3}{4}{A}^2+B)y^2+(-\frac{1}{16}{A}^3+\frac{3}{16}{A}^3-\frac{1}{2}AB+C)y\\ & +(\frac{1}{256}{A}^4–\frac{1}{64}{A}^4+\frac{1}{16}{A}^{2}B–\frac{1}{4}AC+D)\\ & \end{array}$$
この式のカッコの中をさらに文字で置き換えることにより、どんな４次方程式も $$y^4+p{y}^2+qy+r=0$$
と変形することができる。この式を移項して、
$$y^4=-p{y}^2-qy-r$$
とし、両辺に$2t{y}^2+t^2$ を加えると、
$$\begin{array}{cc}{y}^4+2t{y}^2+t^2& =-p{y}^2-qy-r+2t{y}^2+t^2\\ & \\ (y^2+t{)}^2& =(2t-p)y^2-qy+t^2-r\end{array}$$
となる。ここで使った $t$ はどのような数であれば良いかを考える。 左辺が２乗の形になったため、右辺も$(my+n{)}^2$の形になれば、
$$\begin{array}{cc}(y^2+t{)}^2& =(my+n{)}^2\\ & \\ (y^2+t{)}^2-(my+n{)}^2& =0\\ & \\ (y^2+my+t+n)(y^2-my+t-n)& =0\end{array}$$
となり、２次方程式が２つの形となる。 右辺が$(my+n{)}^2$の形になるための条件は、$（右辺）=0$の判別式$D=0$となればよいので、
$$q^2-4(2t-p)(t^2-r)=0$$
をみたす$t$を決定すればよい。 そのような$t$を決定することで、４次方程式は
$$(y^2+my+t+n)(y^2-my+t-n)=0$$
となるため、２次方程式の解の公式から、最終的な解として
$$y=\frac{-m\pm \sqrt{m^2-4(t+n)}}{2},\frac{m\pm \sqrt{m^2-4(t-n)}}{2}$$
が得られる。

４次方程式

の両辺を、でわると、

となり、それぞれの係数を文字で置き換えて、

とできる。ここで、 で置き換えて、式変形していくと、

この式のカッコの中をさらに文字で置き換えることにより、どんな４次方程式も
と変形することができる。この式を移項して、

とし、両辺に を加えると、

となる。ここで使った はどのような数であれば良いかを考える。 左辺が２乗の形になったため、右辺もの形になれば、

となり、２次方程式が２つの形となる。 右辺がの形になるための条件は、の判別式となればよいので、

をみたすを決定すればよい。 そのようなを決定することで、４次方程式は

となるため、２次方程式の解の公式から、最終的な解として

が得られる。

まず、$y=x+\frac{-12}{4}=x-3$で置き換えると、４次方程式の左辺は、
$$\begin{array}{cc}（左辺）& =(y+3{)}^4-12(y+3{)}^3+49(y+3{)}^2-78(y+3)+40\\ & \\ & =y^4+12y^3+54y^2+108y+81-12(y^3+9y^2+27y+27)\\ & +49(y^2+6y+9)-78(y+3)+40\\ & \\ & =y^4+54y^2+108y+81-108y^2-324y-324\\ & +49y^2+294y+441-78y-234+40\\ & \\ & =y^4-5y^2+4\end{array}$$
よって、例題の４次方程式は
$$y^4-5y^2+4=0$$
と変形できた。この式を移項して、
$$y^4=5y^2-4$$
となる。ここで、両辺に$2t{y}^2+t^2$を加えると、
$$\begin{array}{cc}{y}^4+2t{y}^2+t^2& =5y^2-4+2t{y}^2+t^2\\ & \\ (y^2+t{)}^2& =(5+2t)y^2+t^2-4\end{array}$$
となるため、右辺の判別式$D$ が $0$ となるように、$t$ を求めると、 $$\begin{array}{cc}-4(5+2t)(t^2-4)& =0\end{array}$$
$$t=-\frac{5}{2},\pm 2$$
となる。どの$t$ の値を使ってもよいため、計算しやすさから$t=2$ を採用して、 ４次方程式に代入すると、
$$\begin{array}{cc}(y^2+2{)}^2& =(5+2\times 2)y^2+2^2-4\\ & \\ (y^2+2{)}^2& =9y^2\\ & \\ (y^2+2{)}^2-9y^2& =0\\ & \\ (y^2+3y+2)(y^2-3y+2)& =0\\ & \\ (y+2)(y+1)(y-2)(y-1)& =0\end{array}$$
$$y=-2,-1,1,2$$
であり、最初に$y=x-3$と置き換えていたため、最終的に求めたい解 $x$ は、
$$x=1,2,4,5$$
となり、解は求まった。

まず、で置き換えると、４次方程式の左辺は、

よって、例題の４次方程式は

と変形できた。この式を移項して、

となる。ここで、両辺にを加えると、

となるため、右辺の判別式 が となるように、 を求めると、

となる。どの の値を使ってもよいため、計算しやすさから を採用して、 ４次方程式に代入すると、

となるため、あとはこれを因数分解する。


であり、最初にと置き換えていたため、最終的に求めたい解 は、

となり、解は求まった。