(cache)第283回　音楽と数学：ピタゴラスの響き（前編）｜数学ガールの秘密ノート｜結城浩

書籍紹介

『数学ガールの秘密ノート／ビットとバイナリー』

二進法、ビット演算、コンピュータグラフィックス、二の補数表現、パターンの発見、順序構造とブール代数……コンピュータを支える数学の基礎を学ぼう！

登場人物紹介

僕：数学が好きな高校生。

ユーリ：僕のいとこの中学生。僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。論理的な話は好きだが飽きっぽい。

《ピタゴラスの響き》

僕はユーリといっしょに、双倉図書館で開催されている《音楽と数学》というイベントに来ている（第281回参照）。

《音は波》コーナーを一通り見た後（第282回参照）、僕たちは次のコーナーへ向かう。

ユーリ「お兄ちゃん、あっちのコーナーに行ってみようよ！」

僕「走らないで大丈夫だって……今度はピタゴラス？」

ユーリ「《ピタゴラスの響き》のコーナーだって。何だろ。直角三角形作るの？」

僕「何だろう。今度は順路を守っていくことにしようね。解説パネルがあるよ」

《ピタゴラスの響き》コーナー

このコーナーでは、ピタゴラスが研究した音の響きを体験していきましょう。

ピタゴラスは、音を鳴らす弦の《長さ》を変えると音の《高さ》が変わることを調べました。

また、二本の弦で音を鳴らしたとき、どんなときに心地よく響くのかと、弦の《長さ》との関係を調べました。

私たちはこれから、心地よく響く音を探しながら《ピタゴラス音律》と《ピタゴラス音階》を作っていきます。

ユーリ「《ぴたごらすおんりつ》と《ぴたごらすおんかい》」

僕「そういえば、ピタゴラスが音楽の研究をした話は聞いたことがあるなあ。内容はよく覚えていないけど」

ユーリ「ピタゴラスの定理しか知らない」

僕「これから、ピタゴラス音律とピタゴラス音階というものを作っていくみたいだね」

ユーリ「音階って、ドレミファソラシドでしょ？　そんなに何種類もあるの？」

僕「あるみたいだよ。ほら」

音律と音階

音楽で曲を作るときには、どのような高さの音を使うかを定めます。その音の集まりを、一般に音律（おんりつ）といいます。

また、実際に使う音を低い音の順に並べたものを音階（おんかい）といいます。

音の高さは周波数で決まりますから、音律を定めることは、周波数の集まりを定めることです。

また、音階を定めることは、周波数が低い順に並べることに相当します。

音律も音階もたくさんの種類がありますが、まず私たちはピタゴラス音律およびピタゴラス音階に注目しましょう。

ユーリ「へー……何だかわかったよーな、わかんないよーな。ピアノがあればドレミファは決まるんじゃないの？」

僕「いや、そういうことじゃないと思う。ピアノは鍵盤があって、キーを叩けば音が出るよね」

ユーリ「楽器ですから」

僕「でもその音の高さは決まってる。決まったキーを叩けば、決まったハンマーが動いて、ピアノの中にある決まった弦を叩いて、決まった周波数の音が出る」

ユーリ「毎回違った音が出たら困るじゃん」

僕「そうなんだけど、それはもう音律ができた後なんだよ。だって、各キーを叩いたときにどんな周波数の音が出るかが決まらなければ、ピアノを調律できないよね。いまやろうとしているのはピタゴラス音律を作っていくこと。それぞれのキーを叩いたときにどんな周波数の音を出せばいいかを決めること」

ユーリ「ふんふん。ドレミファをゼロから作るってこと？」

音の名前

音の名前

ピタゴラス音律では、基準となる音から初めて、音を一つずつ作ります。

このコーナーでは、ド、レ、ミ、ファ、ソ、ラ、シの音を $C, D, E, F, G, A, B$ と表記し、 $C$ の音の周波数は決まっているものとします。

ユーリ「《ド》が《 $C$ 》ってことね。あっ、体験コーナーがある」

体験コーナー（ $C$ ）

体験コーナーでは、 $10$ 秒ごとに音を聞けます。

◆ $C$ の音

※ここでは $C = 260.74 H z$ としています。

僕「とりあえず、次のパネルを見ていこう」

完全 $1$ 度

完全 $1$ 度

長さが等しい二本の弦を同じ力で張ると、同じ高さの音が鳴ります。

この音程を完全 $1$ 度といいます。

音が心地よく響くことを協和（きょうわ）といいます。

完全 $1$ 度は協和する音程です。

たとえば、 $C$ の音と $C$ の音は完全 $1$ 度で協和する音程です。

ユーリ「同じ高さの音も考えるんだ」

僕「そうだね。完全 $1$ 度っていう名前があるって知らなかった。 $0$ 度じゃないんだね」

オクターブ

完全 $8$ 度（ $1$ オクターブ）

二本の弦の長さを変えると、音の高さが変わります。

二本の弦に $X$ と $Y$ という名前を付けましょう。

弦 $X$ と弦 $Y$ の長さをそれぞれ $L_{X}, L_{Y}$ とし、

L_{X} : L_{Y} = 2 : 1

という比になるようにします。つまり、弦

Y

の長さは弦

X

の長さの

1 / 2

になります。

このとき、弦 $X$ と弦 $Y$ が出す音の周波数をそれぞれ $f_{X}, f_{Y}$ とすると、

f_{X} : f_{Y} = 1 : 2

になります。

弦 $X$ と弦 $Y$ を同時に鳴らすと協和します。

この音程を完全 $8$ 度といいます。

$1$ オクターブともいいます。

ユーリ「おくたーぶ、知ってる。これって長さを半分にしたら周波数が倍になるってことでしょ」

僕「そうだね。長さを $1 / 2$ にしたら、周波数は $2 / 1$ になる。掛け合わせると $1$ になる。要するに逆数の関係になっているんだ」

ユーリ「ねーねー、でもね、オクターブ上げたり下げたりしても《同じ音》って感じするよね。低いドも高いドも同じ音。ほらほら、歌が低すぎて歌いにくいとき、オクターブ上げるじゃん」

僕「ユーリは、低すぎて歌えないってことあるんだ。僕は逆が多いなあ。歌が高すぎて歌えなくてオクターブ下げる」

ユーリ「体験コーナーあるけど、さっきと同じじゃない？」

ユーリ「体験コーナーがある！　聞きたい聞きたい！」

体験コーナー（完全 $8$ 度）

◆ $C$ の音（ $C 4$ ）

◆ $1$ オクターブ上の $C$ の音（ $C 5$ ）

◆ $C 4$ と $C 5$ を同時に鳴らした音

僕「確かにきれいに響いてはいるね」

オクターブの繰り返し

ユーリ「あ、クイズがある！」

クイズ

$n$ を $0$ 以上の整数とします。

弦の長さを $1 / 2$ にする操作を $n$ 回繰り返しました。

このとき、弦の長さはもとの長さの何倍になりますか。

また、周波数は何倍になりますか。

僕「これはすぐにわかるね」

ユーリ「わかる。半分にするのを繰り返すんでしょ。長さは半分にしたら $1 / 2$ 倍になる。もう一回半分にしたら $1 / 4$ 倍になる。だから、

1 / 2, 1 / 4, 1 / 8, 1 / 16, \dots

って続くんでしょ。カンタン！」

僕「そうだけど、 $n$ 回繰り返したらどうなるかを考えたいんだから、 $1 / 2, 1 / 4, 1 / 8, 1 / 16, \dots$ じゃなくて、

1 / 2^{1}, 1 / 2^{2}, 1 / 2^{3}, 1 / 2^{4}, \dots

とした方がいいね。弦の長さを

1 / 2

にする操作を

n

回繰り返したら、弦の長さはもとの長さの、

1 / 2^{n}

になる」

ユーリ「あ、そっか」

僕「ところで、 $n$ は整数だった。 $n = 0$ のときは？」

ユーリ「 $n = 0$ のとき？　《弦の長さを $1 / 2$ にする操作を $0$ 回繰り返す》って何もやらないことだから、長さは変わらない。つまり $1$ 倍じゃない？」

僕「正解だね。そしてそれは、確かに $1 / 2^{0} = 1$ とつじつまがあう。 $1 / 2$ にする操作を $n$ 回繰り返したら、弦の長さはもとの長さの、

1 / 2^{n}

になるのは、

n = 0

のときも含めて成り立っている」

ユーリ「たーしかに！」

僕「弦の長さが $1 / 2^{n}$ 倍になるんだから、周波数はその逆数で $2^{n}$ 倍になるね」

クイズの答え

$n$ を $0$ 以上の整数とします。

弦の長さを $1 / 2$ にする操作を $n$ 回繰り返すと、弦の長さはもとの長さの $1 / 2^{n}$ 倍になります。

また、周波数は $2^{n}$ 倍になります。

ユーリ「……ちょっと待って！　マイナスも！　《弦の長さを $1 / 2$ にする操作を $- 1$ 回繰り返す》って、《弦の長さを $2$ 倍にする操作を $1$ 回繰り返す》ってことじゃない？」

僕「それは正しい拡張だね。弦の長さを $1 / 2^{n}$ 倍にすると周波数が $2^{n}$ 倍になるというのは、どんな整数 $n$ についても成り立っているんだね」

新しい音を求めて

新しい音を求めて（１）

ピタゴラスは、弦の長さの比が音の響きに重要な役割を果たしていることに気がつきました。

二本の弦の長さの比が簡単な整数比で表されるとき、二つの音は協和します。

弦の長さの比が $1 : 1$ のとき、周波数の比は $1 : 1$ となり、完全 $1$ 度で協和します。

弦の長さの比が $2 : 1$ のとき、周波数の比は $1 : 2$ となり、完全 $8$ 度で協和します。

弦の長さを $1 / 2^{n}$ 倍にすれば、周波数は $2^{n}$ 倍となり、協和する無数の音を作れますが、すべてオクターブ単位で離れている音になってしまい、それ以外の音は作れません。

ユーリ「ははーん、わかったよ！　さっきから $1 / 2$ にしてばっかり。だから、新しい音が作れないんだよ。 $2$ だけじゃなくて、 $3$ も使えばいい！　弦の長さを $1 / 3$ にすれば、別の音ができるじゃーん？」

僕「それはなかなか良さそうな案だな。パネルの続きはどこだ？」

ユーリ「あっち！」

新しい音を求めて（２）

ピタゴラスは弦の長さを $1 / 3$ にしました。

弦の長さを $1 / 3$ 倍にすると、周波数は $3$ 倍になります。

このとき、新しくできた音はもとの音と協和し、しかも音程はオクターブ単位ではありません。

新しい音 $G$ です。

ユーリ「聞いてみよー！」

体験コーナー（周波数 $3$ 倍）

◆ $C$ の音（ $C 4$ ）

◆ $C$ の音の周波数を $3$ 倍した音（ $G 5$ ）

◆ $C 4$ と $G 5$ を同時に鳴らした音

僕「なるほど、確かに協和してるけど、ずいぶん高い音になるね」

ユーリ「周波数が $3$ 倍だから？」

僕「そうか、周波数が $3$ 倍だから、 $1$ オクターブよりも高くなっちゃうんだ」

完全 $5$ 度

完全 $5$ 度

弦の長さを $1 / 3$ 倍にすると、周波数は $3$ 倍になります。

周波数が $3$ 倍になると、もとの音の $1$ オクターブ上の音よりも高い音になってしまいます。

そのため、弦の長さを $1 / 3$ 倍ではなく、 $2 / 3$ 倍にします。

弦の長さを $2 / 3$ 倍にすると、周波数は $3 / 2$ 倍になります。

音 $C 4$ の周波数を $3 / 2$ 倍すると、音 $G 4$ の高さは $C 4$ と $C 5$ の間の高さになります。

$1$ オクターブ内に収まった音 $G$ が作れました。

$C$ と $G$ の音程を完全 $5$ 度といいます。

ユーリ「えーと？　話がややこしくなってきたぞー」

僕「いやいや、簡単な話だよ」

音 $C 4$ の周波数を $3$ 倍にすると、音 $G 5$ になる。
音 $G 5$ は、音 $C 4$ の $1$ オクターブ上の音 $C 5$ よりも、さらに高い音になってしまいます。
そこで、オクターブ内に収めるために、音 $G 5$ の周波数を $1 / 2$ にして $1$ オクターブ下げる。
そうすれば、周波数の高さは $C 4 < G 4 < C 5$ になって $1$ オクターブに収まる。

ユーリ「結局、《周波数を $3$ 倍して $2$ で割った》ってこと？」

僕「そうだね。《周波数を $3 / 2$ 倍した》といってもいい。なるほど、なるほど。 $2$ 倍だけだと新しい音が作れないから $3$ 倍も混ぜる。でもそれだとオクターブ越えてしまうから $1 / 2$ 倍してオクターブに収めるということだね」

ユーリ「んーと……《周波数を $3 / 2$ 倍した》ってことは、《弦の長さを $2 / 3$ 倍した》ってこと？」

僕「そうなるね」

ユーリ「聞いてみると……？」

体験コーナー（音 $C$ と、音 $C$ の周波数を $3 / 2$ 倍した音 $G$ ）

◆音 $C$ （ $C 4$ ）

◆音 $C$ の周波数を $3 / 2$ 倍した音 $G$ （ $G 4$ ）

◆音 $C 4$ と音 $G 4$ を同時に鳴らした音

僕「なるほど」

ユーリ「ふーん」

これまでに作った音を確かめよう

これまでに作った音を確かめよう

私たちはこれまで、周波数を $1$ 倍、 $2$ 倍、 $3$ 倍、 $3 / 2$ 倍した音を作りました。

音 $C 4$ の周波数を $1$ 倍すると、音 $C 4$ になります（同音）。

音 $C 4$ の周波数を $2$ 倍すると、音 $C 5$ になります（ $1$ オクターブ上）。

音 $C 4$ の周波数を $3$ 倍すると、音 $G 5$ になります。

音 $C 4$ の周波数を $3 / 2$ 倍すると、音 $G 4$ になります。

オクターブの違いを同一視すると、私たちは $C$ と $G$ の二つの音を手に入れました。

※音の高さがオクターブ単位で異なる二音は同じピッチクラスに属しているといいます。 $C 4$ と $C 5$ は同じピッチクラス $C$ に属しており、 $G 4$ と $G 5$ は同じピッチクラス $G$ に属しています。

僕「ピタゴラス音律の音を一つずつ作っていて、ようやく $C$ と $G$ という二つの音を作ることができたんだね。じゃあ、次のパネルに行こうか。きっと三つ目の新しい音を作るんだよ……ユーリ？」

急にユーリが黙った。

ユーリ「……」

僕「次のパネルに行かないの？　お腹でも痛い？」

ユーリ「……わかったかも！」

僕「え？」

ユーリ「あのね。ユーリ、次の音わかったかも！　名前はわかんないけど、比はわかる！」

僕「おお！」

ユーリ「さっきと同じことすればいーの。いろいろあったけど、 $C$ から $G$ を作るときには結局は《周波数を $3$ 倍して $2$ で割った》わけじゃん？」

僕「そうだね」

ユーリ「もっかいやるの！　 $G$ に対して《周波数を $3$ 倍して $2$ で割る》計算をすればいーのでは？」

僕「それはいいアイディアだな！」

ユーリ「ふふん。ピタゴラユーリと呼びたまえ」

三つ目の音 $D$ を作る

三つ目の音 $D$ を作る

音 $C$ から音 $G$ を作るとき、周波数を $3 / 2$ 倍にしました。

同じことを繰り返しましょう。

音 $G$ から新しい音 $D$ を作るとき、周波数を $3 / 2$ 倍にします。

はじめの音 $C$ から音 $D$ を作るとき、

\underset{C \to G}{\underset{⏟}{3 / 2}} \times \underset{G \to D}{\underset{⏟}{3 / 2}} = 3^{2} / 2^{2} = 9 / 4

という計算で、周波数は

9 / 4

倍になります。

ところで、 $9 / 4 > 2$ ですから、新たな音 $D$ は、音 $C 5$ よりも高い音 $D 5$ になってしまいます。

そこで、同じことを繰り返しましょう。

周波数を $1 / 2$ 倍にし、 $1$ オクターブ下げるのです。

このようにすると音 $C 4$ から音 $D 4$ を作るとき、

\underset{C 4 \to G 4}{\underset{⏟}{3 / 2}} \times \underset{G 4 \to D 5}{\underset{⏟}{3 / 2}} \times \underset{D 5 \to D 4}{\underset{⏟}{1 / 2}} = 3^{2} / 2^{3} = 9 / 8

という計算で、周波数を

9 / 8

倍にすればいいとわかります。

音 $C$ と音 $G$ が協和するように、音 $G$ と音 $D$ も協和します。

音 $D 4$ と音 $G 4$ の音程を完全 $4$ 度といいます。

私たちはこれで、 $C$ と $D$ と $G$ の三音を手に入れました。

僕「そうか。周波数を $3 / 2$ にすることを繰り返すだけだと、オクターブを越えてしまうんだね」

ユーリ「やーらーれーたー」

僕「 $3^{2} / 2^{2} = 9 / 4 > 2$ だからなあ」

ユーリ「あー」

僕「同じことを繰り返すというアイディアは正しかったけど」

ユーリ「うー」

僕「それにしても、ピタゴラスの音律では、こんなふうに比を考えて協和するように音の周波数を決めるんだね」

ユーリ「体験コーナーはどこ？」

体験コーナー（音 $D 4$ と音 $G 4$ ）

◆音 $D 4$

◆音 $G 4$

◆音 $D 4$ と音 $G 4$ を同時に鳴らした音

ユーリ「これって、適当に決めた二音でも協和になるんじゃないの？」

僕「こっちに不協和の体験コーナーがある」

不協和

不協和 二つの音の周波数が簡単な整数比で表せないとき、美しく響きません。これを不協和（ふきょうわ）といいます。

たとえば、ピタゴラス音律で音 $C 4$ と音 $D 4$ の周波数比は $8 : 9$ で、不協和になります。

体験コーナー（音 $C 4$ と音 $D 4$ ）

◆音 $C 4$

◆音 $D 4$

◆音 $C 4$ と音 $D 4$ を同時に鳴らした音

ユーリ「ぎゃあ！」

僕「確かにこれは気持ち悪いな！」

四つ目の音 $A$

ユーリ「同じことを繰り返せば、 $D$ から新しい音も作れるよね。周波数を $3 / 2$ 倍して……」

僕「……オクターブに収めるために $2$ で割る」

四つ目の音 $A$

音 $D$ の周波数を $3 / 2$ 倍してできる音の周波数は、

9 / 8 \times 3 / 2 = 3^{3} / 2^{4} = 27 / 16

という計算で得られ、

27 / 16

倍になります。

$27 / 16 < 2$ ですから、 $1$ オクターブ下げる必要はありません。

音 $C$ の周波数を $27 / 16$ 倍した新しい音 $A$ ができました。

音 $D 4$ と音 $A 4$ は完全 $5$ 度の音程になります。

$C$ と $G$ の組、 $G$ と $D$ の組、 $D$ と $A$ の組は協和します。

私たちはこれで、 $C$ と $D$ と $G$ と $A$ の四音を手に入れました。

ユーリ「へー……こんどは $\times 3 / 2$ だけでオクターブに入るんだ。 $2$ で割らなくてもいい」

僕「とりあえず、音を聞こうか」

体験コーナー（音 $D 4$ と音 $A 4$ ）

◆音 $D 4$

◆音 $A 4$

◆音 $D 4$ と音 $A 4$ を同時に鳴らした音

五つ目の音 $E$

ユーリ「次はまちがえないよ」

僕「音 $A$ の周波数を $3$ 倍しておいて、音 $C$ から $1$ オクターブ以内に入るまで $2$ で割ることを繰り返す」

五つ目の音 $E$

音 $A$ の周波数を $3 / 2$ 倍してできる音の周波数は、

27 / 16 \times 3 / 2 = 3^{4} / 2^{5} = 81 / 32

という計算で得られますが、

81 / 32 > 2

なので、

1

オクターブ下げるためにさらに

2

で割ります。

音 $C$ の周波数を $81 / 64$ 倍した新しい音ができました。

新しくできた音はミ、すなわち $E$ になります。

$C$ と $G$ の組、 $G$ と $D$ の組、 $D$ と $A$ の組、 $A$ と $E$ の組は協和します。

私たちはこれで、 $C$ と $D$ と $E$ と $G$ と $A$ の五音を手に入れました。

体験コーナー（音 $E 4$ と音 $A 4$ ）

◆音 $E 4$

◆音 $A 4$

◆音 $E 4$ と音 $A 4$ を同時に鳴らした音

ヨナ抜き音階

ユーリ「六つ目の音だよね、飽きてきたぞー！」

僕「いや、何だか違うパネルがある」

ヨナ抜き音階

私たちはこれまでに $3$ 倍と $1 / 2$ 倍とを組み合わせて、ピタゴラス音律に属する $C$ と $D$ と $E$ と $G$ と $A$ の五音を手に入れました。

これは、

C, D, E, F, G, A, B

という七音と比べると、

C, D, E, (F), G, A, (B)

のように

4

番目（ヨン）と

7

番目（ナナ）の音が抜けています。この音階をヨナ抜き音階といいます。

ユーリ「よなぬきおんかい」

僕「五音だけからできた音階なんだね」

ユーリ「でも五音しかなかったら曲が作れないよ」

君が代

ヨナ抜き音階を使った代表的な曲に《君が代》があります。

第4小節の第2音を除き、すべての音がヨナ抜き音階でできています。

ヨナ抜き音階はどこか郷愁を誘う響きを持っています。

※楽譜はWikipediaより（パブリックドメイン）。

僕「君が代！」

ユーリ「作れるんだ！」

（第283回終わり、第284回へ続く）

参考文献

東条敏＋平田圭二『音楽・数学・言語：情報科学が拓く音楽の地平』（近代科学社）
小鍛冶邦隆『楽典　音楽の基礎から和声へ』（アルテスパブリッシング）
小方厚『音律と音階の科学』（講談社）

数学ガールの秘密ノート

第283回　音楽と数学：ピタゴラスの響き（前編）

《ピタゴラスの響き》

音の名前

完全 $1$ 度

オクターブ

オクターブの繰り返し

新しい音を求めて

完全 $5$ 度

これまでに作った音を確かめよう

三つ目の音 $D$ を作る

不協和

四つ目の音 $A$

五つ目の音 $E$

ヨナ抜き音階

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第283回 音楽と数学：ピタゴラスの響き（前編）

《ピタゴラスの響き》

音の名前

完全11度

オクターブ

オクターブの繰り返し

新しい音を求めて

完全55度

これまでに作った音を確かめよう

三つ目の音DDを作る

不協和

四つ目の音AA

五つ目の音EE

ヨナ抜き音階

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第283回　音楽と数学：ピタゴラスの響き（前編）

完全 $1$ 度

完全 $5$ 度

三つ目の音 $D$ を作る

四つ目の音 $A$

五つ目の音 $E$