「下」という漢字の３画目は、どこにもくっつけてはいけないのでしょうか？ 字体...

文部科学省では、統一していません。
学校教育で用いる文書は、下記の引用文にある
「公用文」として扱われますが、活字通りでないから
といって間違いとはしていません。
質問者さんの学校の先生が、「許容」を知らずに
教科書体の活字だけを正解としてしまったのでしょう。
先生の認識不足です。

http://www.mitsumura-tosho.co.jp/kyokasyo/syogaku/kokugo/qanda/numb...

（以下引用）
必ず「教科書体」のとおりに書かなければ誤りなのか、というと、
そのようなことはありません。文化庁から発行されております
「公用文の書き表し方の基準」の中の「常用漢字表」前書きに
「明朝体活字と筆写の楷書との関係について」として、
「字体としては同じであっても、印刷上と手書き上のそれぞれの
習慣の相違に基づく表現の差と見るべきもの」とあるように、
活字と手書き文字は異なって当然であり、読み誤りや画数の
誤りを招くおそれがあるものでないかぎり、活字どおりでないから
といって間違いであるとはいえません。

とんでもない漢字教育ですね。
その教師は、学校教育のもとになる『常用漢字表』をちゃんと読んでいるのでしょうか。
『常用漢字表』では、字体について具体的に解説しており、活字のデザインの違いや筆写の楷書の違いを示して、微妙な違いは許容しています。
「下」の３画目も、離れているかどうかなど問題になりません。

教師の立場を考えると、唯一の正解を決めて他は全部間違いとするほうが楽なのです。
微妙なモノでも許してしまうと、許すかどうかの判断が難しくなるからです。でもこれは教育者として本末転倒ですよね。
これでは漢字嫌いの子供を増やすだけのような気がします。

書道の先生の場合は事情が違います。
その先生が長年培ってきた審美眼で、正しい字体を決めればいいのです。それが気に入らない生徒は他の先生を選べばいいのですから。