2010. 6.24.
石立 喬

Visual C++ 2010 Express の易しい使い方（１３）

―――　三次元グラフィックの例題としてのFET静特性の表示　―――

　三次元グラフィックは、いろいろな関数を分かりやすく見せてくれる。ここでは、電子回路でおなじみのFET（電界効果トランジスタ）の静特性を表示することを例題にして、三次元グラフ（物体でも良い）を画面上に二次元で表示し、見る方向をスクロールバーで可変にする方法を述べる。三次元表示方法としては最も簡単な方法で、遠近効果を出したり、隠線処理をしたりするのは省略している。
　　FETの静特性は、Vd（ドレイン電圧）、Vg（ゲート電圧）を変数としてId（ドレイン電流）が求まるので、これをグラフで表すと三次元になる。

FET（電界効果トランジスタ）の静特性
　FETの静特性は、比較的簡単なモデルでは、下記の通りである。ただし、ソース電圧を基準として、Vgはゲート電圧、Vdはドレイン電圧、Vthは閾（しきい）値電圧でトランジスタごとにほぼ一定の値、βは相互コンダクタンスで、大きいと多くの電流が流れる。

　　　　
　　　　
　　　　

　上記のように、FETの静特性はId＝F(Vg,Vd)の関係があり、Vgをｘ軸に、Vdをｙ軸に、Idをｚ軸にとると、三次元のグラフで表示できる。教科書などに示されているのは、VdをパラメータにしたVg－Id曲線、VgをパラメータにしたVd－Id曲線などであり、全体像の把握が困難である。

三次元グラフをパソコン画面上に二次元座標で表す方法
　図１に示すように、ｚ軸からφの角度を持ち、ｘ軸からθの角度を持つ無限遠の視点（無限遠とすると式が簡単になる）から三次元絶対座標（x,y,z）で示された座標上の一点を見た（投影した）とする。


図１　座標系と天頂角θと視角φの関係


　そのときの二次元表示画面における座標をdisplay.xとdisplay.yとすると、下式の関係で表すことができる。一般に、θはマイナスの値をとる。

　　　　
　ただし、本文でで紹介するプログラムでは、パソコン画面上の二次元座標をPoint構造体のpoint1などで表し、そのｘ軸成分はpoint1.Xで、ｙ成分はpoint1.Yなどで表している。

スクロールバーの使い方
　「Form1.h[デザイン]」の画面で「ツールボックス」ウインドウを開き、「すべてのWindowsフォーム」欄から「HScrollBar」と「VScrollBar」をクリックしてForm1上に貼り付ける。
　各スクロールバーの設定は、それぞれの「プロパティ」ウインドウで、下表の通りにする。「Size」は「配置」欄に、「RightToLeft」は「表示」欄に、その他は「動作」欄にある。「Maximum」から9（「LargeChange」が10のとき）を引いたものが採りうる実際の最大値となり、これは90°を意味する。

機能 名称 Size RightToLeft Maximum Minimum Large-
Change		 Small-
Change
水平スクロールバー hScrollBar1 120,20 Yes 99 0 10 　　1
垂直スクロールバー vScrollBar1 20,120 (項目なし) 99 0 10 　　1
　
　それぞれのスクロールバーは、まず目見当で配置とサイズを決め、後に細かく調整する。LargeChangeはスクロールバーの内部をクリックしたときの変化分、SmallChandeは両端の三角矢印をクリックしたときの変化分で、変更しないでデフォルトのまま使用する。
　スクロールバーからの数値の読み取りは、
　　　　theta=-hScrollBar->Value;
　　　　phi=vScrollBar->Value;
スクロールバーの設定は、
　　　　hScrollBar->Value=theta;
　　　　vSCrollBar->Value=phi;
で行なう。

ラベルの設定方法
　各スクロールバー周辺の文字は、ラベルを使用する。文字が上下二段になっているものは、各ラベルの「プロパティ」ウインドウで、「表示」欄の「Text」をクリックし、右に現れる下向きの矢印をクリックして、四角い入力領域に入力すれば良い。

プログラムの概要
１） FETの静特性の計算は視角に関係なく、直接画面に表示する必要がないので、あらかじめ計算し、data[i,j]としてメモリに格納しておく。これにより、視角のパラメータを変換して画面を書き換えるたびに、静特性の計算をする必要がなく、高速化できる。
　　具体的には、プログラムの起動時に一度だけ呼び出されるForm1_Load()メソッドで、data[i,j]の計算を行なう。data[i,j]は、Form1.hのグローバル変数として、あらかじめ宣言しておく。　メモリ内の配列をアクセスするので、VgやVdの値を直接使用できない。forループをｉとｊで回し、Vg=0.1*i; Vd=0.1*j; などとしても良いが、ここでは、VgやVdを意識するためにforループをVgとVdで直接回し、その都度iとｊをインクリメントした。Vgは0.0Vから5.0Vまでの0.2Vおきにしたので、iは0から50までの26個、Vdは0.0Vから12.0Vまでの0.4Vおきにしたので、jは0から30までの31個の値をとる。
２） Form1_Paint()では、
　　・theta、phiから、何回も使われるsinθ、cosθ、sinφ、cosφを計算して準備しておく
　　・三次元の座標軸と軸の名称を描く
　　・display3D()メソッドを呼び出し、data[i,j]により、FETの三次元グラフを描く
　　・使用したtheta、phiの値を表示する
　　を順次行なう。
３）三次元データをパソコン画面上の二次元座標に変換するdisplay3D()メソッドを記述する。
４）水平スクロールバーを動かしたときのハンドラ－（hScrollBar1_Scroll）でthetaを読み取る。
５）垂直スクロールバーのハンドラ－（vScrollBar_Scroll）でphiを読み取る。


プログラム

　　　　array<float,2>^ data;
　　　　int theta,phi;
　　　　float sint,sinp,cost,cosp;
　　　　static const float PI180=(float)Math::PI/180.0f;

　　　　private: System::Void Form1_Load(System::Object^ sender, System::EventArgs^ e) {

　　　　　　　　float BETA=4.0f,VTH=1.5f;
　　　　　　　　theta=-45;
　　　　　　　　phi=60;
　　　　　　　　hScrollBar1->Value=45;
　　　　　　　　vScrollBar1->Value=60;

　　　　　　　　data=gcnew array<float,2>(26,31);

　　　　　　　　int i,j;
　　　　　　　　float vd,vg,id;

　　　　　　　　i=0;
　　　　　　　　for(vg=0.0f;vg<=5.0f;vg+=0.2f){
　　　　　　　　　　　　j=0;
　　　　　　　　　　　　for(vd=0.0f;vd<=12.0f;vd+=0.4f){
　　　　　　　　　　　　　　　　if(vg-VTH<=0)　　　　　　 id=0.0f;
　　　　　　　　　　　　　　　　else if(vd>vg-VTH)　　　 id=BETA/2.0f*(vg-VTH)*(vg-VTH);
　　　　　　　　　　　　　　　　else 　　　　　　　　　　　　id=BETA*((vg-VTH)*vd-0.5f*vd*vd);
　　　　　　　　　　　　　　　　data[i,j]=id;
　　　　　　　　　　　　　　　　j++;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　i++;
　　　　　　　　}

　　　　}


　　　　private: System::Void Form1_Paint(System::Object^ sender, System::Windows::Forms::PaintEventArgs^ e) {

　　　　　　　　int i,j;
　　　　　　　　int X0=40,Y0=320; 　　　　 //グラフの原点
　　　　　　　　int X1=30,Y1=20; 　　　　　//条件の表示位置
　　　　　　　　Point point1=Point();
　　　　　　　　Point point2=Point();
　　　　　　　　Point old_point=Point();

　　　　　　　　//三角関数の計算
　　　　　　　　sint=Math::Sin(theta*PI180);
　　　　　　　　sinp=Math::Sin(phi*PI180);
　　　　　　　　cost=Math::Cos(theta*PI180);
　　　　　　　　cosp=Math::Cos(phi*PI180);

　　　　　　　　Graphics^ g=e->Graphics;

　　　　　　　　//座標軸を描く
　　　　　　　　point1=display3D(0,0,0); 　　　//原点
　　　　　　　　point2=display3D(200,0,0); 　　//X軸上のX=200
　　　　　　　　g->DrawLine(Pens::Black,X0+point1.X,Y0-point1.Y,X0+point2.X,Y0-point2.Y);
　　　　　　　　point2=display3D(0,240,0); 　　//Y軸上のY=240
　　　　　　　　g->DrawLine(Pens::Black,X0+point1.X,Y0-point1.Y,X0+point2.X,Y0-point2.Y);
　　　　　　　　point2=display3D(0,0,250); 　　//Z軸上のZ=250
　　　　　　　　g->DrawLine(Pens::Black,X0+point1.X,Y0-point1.Y,X0+point2.X,Y0-point2.Y);

　　　　　　　　//軸の名称を描く
　　　　　　　　point1=display3D(220,0,0);
　　　　　　　　g->DrawString("Vg",Font,Brushes::Black,X0+point1.X,Y0-point1.Y);
　　　　　　　　point1=display3D(0,260,0);
　　　　　　　　g->DrawString("Vd",Font,Brushes::Black,X0+point1.X,Y0-point1.Y);
　　　　　　　　point1=display3D(0,0,270);
　　　　　　　　g->DrawString("Id",Font,Brushes::Black,X0+point1.X,Y0-point1.Y);

　　　　　　　　//赤色でグラフを描く
　　　　　　　　for(i=0;i<=25;i++)
　　　　　　　　　　　　for(j=0;j<=30;j++){
　　　　　　　　　　　　　　　　point1=display3D(8*i,8*j,10*data[i,j]);
　　　　　　　　　　　　　　　　if(j==0) old_point=point1;
　　　　　　　　　　　　　　　　else{
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　g->DrawLine(Pens::Red,X0+old_point.X,Y0-old_point.Y,X0+point1.X,Y0-point1.Y);
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　old_point=point1;
　　　　　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　}

　　　　　　　　//緑色でグラフを描く
　　　　　　　　for(j=0;j<=30;j++)
　　　　　　　　　　　　for(i=0;i=<25;i++){
　　　　　　　　　　　　point1=display3D(8*i,8*j,10*data[i,j]);
　　　　　　　　　　　　if(i==0) old_point=point1;
　　　　　　　　　　　　else{
　　　　　　　　　　　　　　　　g->DrawLine(Pens::Green,X0+old_point.X,Y0-old_point.Y,X0+point1.X,Y0-point1.Y);
　　　　　　　　　　　　　　　　old_point=point1;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　}

　　　　　　　　//設定条件を表示する
　　　　　　　　String^ string1=String::Format("theta={0}, phi={1}",theta,phi);
　　　　　　　　g->DrawString(string1,Font,Brushes::Black,X1,Y1);

　　　　}

　　　　private:Point display3D(float x,float y,float z){

　　　　　　　　int xx=(int)(-sint*x+cost*y+0.5f);
　　　　　　　　int yy=(int)(-cost*cosp*x-sint*cosp*y+sinp*z+0.5f);
　　　　　　　　return Point(xx,yy);

　　　　}

　　　　private: System::Void hScrollBar1_Scroll(System::Object^ sender, System::Windows::Forms::ScrollEventArgs^ e) {

　　　　　　　　theta=-hScrollBar1->Value;
　　　　　　　　Invalidate();

　　　　}

　　　　private: System::Void vScrollBar1_Scroll(System::Object^ sender, System::Windows::Forms::ScrollEventArgs^ e) {

　　　　　　　　phi=90-vScrollBar1->Value;
　　　　　　　　Invalidate();

　　　　}

実行結果
　プログラムを起動した直後の画面を図２に示す。目盛りが無いので、少しさびしいが、関心のある人は、追加して欲しい。θ（theta）やφ（phi）のデフォルト値は、三次元画面として比較的見やすい値に設定されている。陰線処理をすると、もっと見やすい画面になると思われる。


図２　プログラム実行直後の画面


　スクロールバーを動かしてθ（theta）＝-90°（ｙ軸を原点側から見る）、φ（phi）＝90°（水平に真横から見る）にすると、図３のように見慣れたVg―Id曲線が得られる。


図３　Vg―Id曲線


　同様に、θ＝0°（ｘ軸と同じ方向から見る）、φ＝90°（水平に真横から見る）に設定した場合を図４に示す。これも、よく見慣れたVd―Id曲線である。


図４　Vd―Id曲線


付録
　　ここでは、三次元の座標をパソコン画面上の二次元座標に変換する方法を、図を用いて解説する。
１）パソコン画面のｘ座標が display.x=-sinθ・x+cosθ・y となることの説明　（図A参照）
　　この場合は、天頂角φを考える必要はない。また、ｚを考える必要もない。三次元座標（以後、原座標と呼ぶ）上のP点（ｘ、ｙ、ｚ）を原座標のｘ、ｙ平面に原座標のまま投影したパソコン画面上の位置をD点とする。D点の ｘ 軸方向成分を display.ｘ とする。 -x・sinθは、視線が垂直に交わる投影平面への原座標の ｘ 成分の投影であり、視線より左側にあるので、マイナス符号を付けてある。一方、 y・cosθは、投影平面への原座標のｙ成分の投影である。D点の投影 display.x を求めるには、ｘ 成分と ｙ 成分の投影を線形的に加算した、display.x=-x・sinθ+y・cosθ を用いれば良い。



２）パソコン画面のｙ座標が display.y=-cosθ・cosφ・x-sinθ・cosφ・y+sinφ・zとなることの説明　（図B、C参照）
　　 display.yは、display.y=-cosφ(x・cosθ+y・sinθ)+z・sinφ と書き換えることができる。この式で、括弧の中は、天頂角φやｚを考えない、先ほどのD点の縦方向の距離（これをdとする）である。x・cosθは、その時の原座標のｘ成分の投影であり、y・sinθは ｙ成分の投影である。Ｄ点の距離 d は、それらを合計して求まるので、d=x・cosθ+y・sinθ となる。（図B参照）



　　実際には、天頂角φを考え、かつｚを考慮して投影平面への投影を考えると、原座標の ｘｙ 平面に対しては -cosφ を乗じ、ｚ軸に対しては sinφを乗じて加算すればよいので、display.y=-cosθ・d+z・sinφの関係が得られる。（図C参照）　d はすでに求めてあるので、それを代入すればよい。



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