(cache)行列の無限等比級数高校数学の美しい物語

対角化可能な正方行列 $A$ について，全ての固有値が $- 1$ より大きく $1$ より小さいとき，
$\sum_{k = 0}^{\infty} A^{k} = I + A + A^{2} + \dots$
は $(I - A)^{- 1}$ に収束する。

行列の無限等比級数について考えます。記事の後半では，より一般的な主張を述べます。

部分和

無限級数について考える前に，まずは項の数が有限の場合について考えてみます。

$1 + x + x^{2} + \dots + x^{n - 1} = \frac{1 - x^{n}}{1 - x}$
という等比数列の和の公式の行列版として（ $I - A$ に逆行列が存在するという条件のもとで），
$I + A + A^{2} + \dots + A^{n - 1} = (I - A^{n}) (I - A)^{- 1}$
という等式が成立します。

証明

$(I + A + \dots + A^{n - 1}) (I - A) = I - A^{n}$
という式が成立することは，左辺を展開することで簡単に証明できる。

よって， $(I - A)$ に逆行列が存在する場合は，両辺に $(I - A)^{- 1}$ を右からかけて，
$I + A + A^{2} + \dots + A^{n - 1} = (I - A^{n}) (I - A)^{- 1}$
を得る。

無限和

$A$ が対角化可能であるという条件に注意して，冒頭の定理を証明してみましょう。

証明

まず， $(I - A)$ が逆行列を持つことを確認する。
$A$ の固有値が $- 1$ より大きく $1$ より小さいので $I - A$ の固有値は $0$ より大きく $2$ より小さい。よって， $I - A$ は正則行列である（行列が正則であることの同値な条件と証明の５）。

次に， $D = P^{- 1} A P$ のように対角化できるとすると，先程の部分和の式より
$I + A + A^{2} + \dots + A^{n - 1} = (I - A^{n}) (I - A)^{- 1} = P (I - D^{n}) P^{- 1} (I - A)^{- 1}$
となる。

ここで， $A$ の固有値が $- 1$ より大きく $1$ より小さいので $D^{n}$ は $n$ を大きくしていくと限りなく零行列 $O$ に近づく。よって，
$\sum_{k = 0}^{\infty} A^{k} = P (I - O) P^{- 1} (I - A)^{- 1} = (I - A)^{- 1}$
となる（※）。

※「高校数学ではイプシロンデルタを使わずに，限りなく近づく，という言葉でごまかした」と同じごまかしをしています。
（→イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法）
本当に厳密にやるには「行列が行列に限りなく近づくとはどういうことか」を考える必要があります。

より一般的な定理

任意の正方行列 $A$ について，以下の2つは同値。
1. $ρ (A) < 1$
2. $\sum_{k = 0}^{\infty} A^{k} = I + A + A^{2} + \dots$ は $(I - A)^{- 1}$ に収束

$ρ (A)$ は $A$ の絶対値最大固有値の絶対値です。 $A$ のスペクトル半径と呼ばれることもあります。「全ての固有値が $- 1$ より大きく $1$ より小さい」を言い換えただけです。
$A$ が対角化不可能な場合にも，冒頭の主張は成り立ちます。証明にはジョルダン標準形を使います。
冒頭の主張の逆も成立します。

詳細は参考文献：The Geometric Series of a Matrixをどうぞ。

「行列の等式だけど，

1 \times 1

行列の場合は普通の見慣れた公式になる」というタイプの式，好きです。