トレミーの定理とその証明，応用例

証明

AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC=e,BD=f,∠ABC=θ(→∠ADC=π−θ)$$\begin{gathered} AB=a,BC=b, \\ CD=c,DA=d, \\ AC=e,BD=f, \\ \angle ABC=\theta (\to \angle ADC=\pi -\theta ) \end{gathered}$$
とおく。
余弦定理より,
a2+b2−e22ab=cosθ=−cos(π−θ)=−c2+d2−e22cd$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{a^2+b^2-e^2}{2ab}}=\cos \theta \\ =-\cos (\pi -\theta )=-{\displaystyle \frac{c^2+d^2-e^2}{2cd}} \end{gathered}$$
この等式を e$e$ について解き以下を得る：
e2=(ac+bd)(ad+bc)ab+cd$e^2={\displaystyle \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$
全く同様にして f$f$ も以下のように表せる：
f2=(ac+bd)(ab+cd)ad+bc$f^2={\displaystyle \frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}$
以上2式を辺々掛け合わせて平方根を取ると,
ef=ac+bd$ef=ac+bd$

証明

図のように θ1 ,⋯,θ4${\theta }_1,\cdots ,{\theta }_4$ を定める。正弦定理より,
ac+bd=(2Rsinθ1)(2Rsinθ3)+(2Rsinθ2)(2Rsinθ4)$$\begin{gathered} ac+bd \\ =(2R\sin {\theta }_1)(2R\sin {\theta }_3) \\ +(2R\sin {\theta }_2)(2R\sin {\theta }_4) \end{gathered}$$

一方三角関数の積和公式より,
2sinθ1sinθ3=cos(θ1−θ3)−cos(θ1+θ3)2sinθ2sinθ4=cos(θ2−θ4)−cos(θ2+θ4)$$\begin{gathered} 2\sin {\theta }_1\sin {\theta }_3=\cos ({\theta }_1-{\theta }_3)-\cos ({\theta }_1+{\theta }_3) \\ 2\sin {\theta }_2\sin {\theta }_4=\cos ({\theta }_2-{\theta }_4)-\cos ({\theta }_2+{\theta }_4) \end{gathered}$$
また, θ1+θ3+θ2+θ4=π${\theta }_1+{\theta }_3+{\theta }_2+{\theta }_4=\pi$ より,
cos(θ1+θ3)+cos(θ2+θ4)=0$\cos ({\theta }_1+{\theta }_3)+\cos ({\theta }_2+{\theta }_4)=0$
以上から, ac+bd=2R2{cos(θ1−θ3)+cos(θ2−θ4)}$ac+bd=2R^2\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_3)+\cos ({\theta }_2-{\theta }_4)\}$

同様に正弦定理と積和公式から,,
ef=4R2sin(θ1+θ2)sin(θ2+θ3)=2R2{cos(θ1−θ3)−cos(θ1+2θ2+θ3)}=2R2{cos(θ1−θ3)−cos(π+θ2−θ4)}=2R2{cos(θ1−θ3)+cos(θ2−θ4)}$\begin{array}{rl}ef& =4R^2\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\sin ({\theta }_2+{\theta }_3)\\ & =2R^2\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_3)-\cos ({\theta }_1+2{\theta }_2+{\theta }_3)\}\\ & =2R^2\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_3)-\cos (\pi +{\theta }_2-{\theta }_4)\}\\ & =2R^2\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_3)+\cos ({\theta }_2-{\theta }_4)\}\end{array}$
となり，ac+bd=ef$ac+bd=ef$ が示された。