[수학] Shooting method

Shooting mehtod! 하면 머가 생각나는가

총쏘는 방법? 농구 슈팅하는 방법?

어떤 궤녁에 넣어 맞춘다는 의미로써 SHOOTING METHOD 는 공학과 수학에 자주 쓰이는 수치해석 방법중 하나이다. 주로 미분방정식의 경계값 문제를 초기값 문제로 바꾸어 푸는데 사용한다.

미분방정식에는 크게 초기값 문제(Initial value problem)과 경계값 문제(Boundary value problem) 이 있다.

대표적인 이차 미분방정식을 생각해보자. 이차 미분방정식이라는 것으로부터 두번 미분이 들어가는 방정식이다. 두번 미분을 해야 되기 때문에 완벽하게 이 미분방정식을 풀기 위해서는 두 가지 정보가 필요하다. 초기값과 미분의 초기값이 주어진 문제를 초기값 문제라 하고, 양쪽 끝의 경계값이 주어진 문제를 경계값 문제라고 한다.

초기값이 주어졌느냐 경계값이 주어졌느냐에 따라 미분방정식의 접근 방법이 달라진다. 어떤 문제에서는 초기값만 주어졌을수도 있고, 또 어떤 문제에서는 경계값만 주어질 수 있다.

이러한 것들은 어떤 특정 현상에 대해, 화자가 어떻게 그 현상을 모델링하는가에 따라 달려있다.

슈팅 메소드는 경계값 문제를 초기값 문제처럼 바꾸어서 푸는 방법을 말한다.

경계값 문제에서의 값을 가지고 초기값 조건을 정하고 iteration 을 통해 마치 골대에 공이 들어가듯이 근사적인 방법을 통해 들어가게 만든다. [선형의 경우에는 비교적 잘 풀리지만 역시 비선형의 경우에는 오차가 많이 커진다]

선형방정식이라도 Dirichlet Problem 이나 Neumann Problem 이나에 따라 이 사용 방법이 달라진다.

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Shooting method 는60년대 후반부터 70년대 초에 개발되어 지금까지도 활발하게 많이 쓰이고 있다.

이제는 체계화 되어서 어떤 상황에 어떤 수치 scheme 에 따라 적용하는 방법들이 잘 알려져 있다. 물론 간단한 모델들에 대한 matlab 코드 역시 이제 구글링을 통해 쉽게 구할 수 있다.

Euler, Runge-Kutta etc, ㅋㅋㅋ 참고로 이런 수치해석 방법은 shooting method 보다 더 이전에 이루어졌다. RK4 만 해도 그 역사가 100년이 넘는다. 물론 그 당시에는 간단한 적분문제를 해결하기 위해 등장한 거지만 ㅎㅎ[혹시 심프슨의 법칙이라고 기억 나는가 ?] [그리고 이제는 이러한 수치 scheme 위에서 shooting method 를 적용한다. 대표적으로 RK4 기법에서 BVP 를 IVP 로 전환하여 원하는 형태의 결과를 내기도 한다]

사실 미분보다 적분이 먼저 등장한 개념이라, 의외로 수치해석 방법들은 생각보다 역사가 깊다. 특히 이러한 수치해석 방법들은 ㅋㅋㅋㅋ 실생활에 많이 쓰이는데, 예전에 이런 수치 해석 방법들이 가장 유용하게 쓰였던 것은 로켓의 궤적 계산이라는 것!