ガウス記号の定義と３つの性質

ガウス記号，フロアー関数，床関数，整数部分，など様々な呼び方があります。また，⌊x⌋$\lfloor x\rfloor$ ではなく [x]$[x]$ と書くこともあります（むしろ大学入試では後者の記号を用いることが多い）。

ガウス記号の定義について

⌊x⌋=n$\lfloor x\rfloor =n$ であることは以下のようにいろいろな言いかえができます。最初は以下の4つのうち一番しっくりくる日本語で定義を覚えるとよいでしょう。

例えば，⌊2.1⌋=2$\lfloor 2.1\rfloor =2$，⌊3⌋=3$\lfloor 3\rfloor =3$，⌊−2.3⌋=−3$\lfloor -2.3\rfloor =-3$ などとなります。

4つのどの言葉で登場するかは問題によりますが「切り捨て，整数部分」などの言葉が出てきたらガウス記号を連想しましょう。ただし，実際に問題を解くときはほとんどの場合，1の不等式を使うことになります。

ガウス記号に対して苦手意識を持っている人は多いですが，ガウス記号にまつわる問題は丁寧に場合分け＆簡単な不等式処理で解けることが多いです。

ガウス記号とグラフ

ガウス記号に慣れるために y=⌊x⌋$y=\lfloor x\rfloor$ のグラフを描いてみます。

• 0≤x<1$0\le x<1$ のとき y=0$y=0$
• 1≤x<2$1\le x<2$ のとき y=1$y=1$
• −1≤x<0$-1\le x<0$ のとき y=−1$y=-1$

などに注意すると，y=⌊x⌋$y=\lfloor x\rfloor$ のグラフは図のようになります。

同様に，y=⌊x⌋+⌊2x⌋+3x$y=\lfloor x\rfloor +\lfloor 2x\rfloor +3x$ などのもっと複雑な関数のグラフも，場合分けがめんどくさくなりますが，丁寧に場合分けすればかくことができます。

ガウス記号の3つの性質

ガウス記号には様々な性質がありますが，特に以下の3つは覚えておくとよいでしょう。

性質1は「 x+N$x+N$ の整数部分は x$x$ の整数部分に N$N$ を足したもの」という意味であり，明らかです。 y=⌊x⌋$y=\lfloor x\rfloor$ のグラフからも分かります。

性質2も「二つの数を足してから切り下げたもの」は「二つの数を切り下げてから足したもの」以上であるというのは明らかです。性質2のエレガントな応用例として，連続するn個の整数の積と二項係数があります。

性質3は後できちんと証明します。
ちなみに，これは以下のように一般化できます：
性質3’：⌊nx⌋=∑k=0n−1⌊x+kn⌋$\lfloor nx\rfloor ={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\lfloor x+{\displaystyle \frac{k}{n}}\rfloor }$
（n$n$ は任意の整数）

ガウス記号の性質3の証明

⌊2x⌋=⌊x⌋+⌊x+12⌋$\lfloor 2x\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rfloor$ を証明します。ガウス記号の問題は丁寧に場合分けするのみです。