の特徴づけ

連続体濃度がアレフ２より大きくなって欲しくない理由 - くるるの数学ノート

id:w2allenさんにコメント欄で質問を受けたのをこちらに持ってきます。

今の話を身近な数の世界で考えると、アレフ０は自然数の濃度、アレフ２は実数の濃度となります。そして、アレフ１という濃度は、まさしくその間の濃度ということはわかりました。でも、この場合、具体例としてアレフ１の濃度を持つ集合というのは、どのようなものになるのでしょうか？つまり、実数の部分集合として、どのように定義すればいいのでしょうか？ご教示いただけると幸いです。

Woodinが提唱するような集合論の標準モデルでℵ1${\mathrm{\aleph }}_1$がどのような位置づけになるかは私にはわかりません。ですが、一般的には以下のことが言えます。
かがみさんがこちらで書かれていますが、Xの基数がℵα${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$のときにX上の整列順序全体の集合を考えるとその基数はℵα+1${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$となります。整列順序というのは、ある集合X上の2項関係≤$\le$で

• x≤x$x\le x$
• x≤y$x\le y$かつy≤x$y\le x$ならばx=y$x=y$
• x≤y$x\le y$かつy≤z$y\le z$ならばx≤z$x\le z$
• 全てのXの元xとyに対して、x≤y$x\le y$またはy≤x$y\le x$が成り立つ
• YがXの空でない部分集合のときに、Yには最小元が存在する

という条件を満たすものです。上三つだけなら順序、四つ目まで満たすと全順序です。

というわけなので、ℵ1${\mathrm{\aleph }}_1$は可算無限集合上の整列順序全体の集合の濃度ということになります。
(9/26 訂正: ここでも順序同型は同一視しなければいけませんでした。すみません。)

これよりほんのちょっと直感的な表現をしてみます。有理数全体の集合Q$\mathbb{Q}$を考えてみましょう。ここで、同型を同一視した上でQ$\mathbb{Q}$の部分集合で部分順序として整列集合となっているもの全体の基数を考えてみます。するとこれがℵ1${\mathrm{\aleph }}_1$になります。同型を同一視しなければ連続体濃度になってしまいますが。なぜかというと、可算無限集合上の全ての全順序は有理数体の部分順序と同型になっているからです。

…うーん、あんまり直感的じゃないかなぁ。なにか他に良い表現はあるでしょうか？