ルート２が無理数であることの４通りの証明

証明

2–√$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。
このとき，互いに素な正の整数 p,q$p,q$ を用いて 2–√=qp$\sqrt{2}={\displaystyle \frac{q}{p}}$ とおける。

両辺二乗して分母を払うと，2p2=q2$2p^2=q^2$
左辺は 2$2$ の倍数なので q2$q^2$ は 2$2$ の倍数。よって q$q$ は 2$2$ の倍数。

すると，q2$q^2$ は 4$4$ の倍数になるので，p2$p^2$ が 2$2$ の倍数。よって p$p$ も 2$2$ の倍数。
これは p$p$ と q$q$ が互いに素であることに矛盾。

証明

2–√$\sqrt{2}$ が有理数 ⟺2–√=ab$⟺\sqrt{2}={\displaystyle \frac{a}{b}}$ を満たす整数 a,b$a,b$ が存在する
なので，
a2=2b2$a^2=2b^2$ を満たす整数 a,b$a,b$ が存在しないことを証明すればよい。
a,b$a,b$ を素因数分解したときの 2$2$ の指数（2$2$ で何回割り切れるか）を考えることで，
左辺は 2$2$ で偶数回，右辺は 2$2$ で奇数回割り切れることになる。つまりそのような整数 a,b$a,b$ は存在しない。

証明

x2−2=0$x^2-2=0$ という二次方程式を考える。

• 2–√$\sqrt{2}$ はこの二次方程式の解である。
• この方程式に有理数解があるとしたら，それは上記の定理より ±1,±2$\pm 1,\pm 2$ のいずれかだがどれも解でない。

以上により 2–√$\sqrt{2}$ は無理数。

証明

2–√$\sqrt{2}$ の正則連分数展開は 2–√=[1;2,2,2,2,⋯]$\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,\cdots ]$ と無限に続く（注）ので上記の定理より 2–√$\sqrt{2}$ は無理数である。

注：
・ 2–√$\sqrt{2}$ の整数部分は 1$1$，小数部分は 2–√−1=12–√+1$\sqrt{2}-1={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}}$ より
2–√=1+12–√+1$\sqrt{2}=1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}}$
・ 2–√+1$\sqrt{2}+1$ の整数部分は 2$2$，小数部分は 12–√+1${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}}$ より
2–√=1+12+12–√+1$\sqrt{2}=1+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}}}}$
以下この操作が無限に続く。