tan1°が無理数であることの証明

超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。

有理数であることか無理数であることを証明せねばなりません。2つの方針のうち一方しかうまくいかないので，この手の問題でどちらの道を選ぶかは自分の直感に頼らざるを得ません。

実は無理数であることを証明するのがうまくいきます。
直感が優れている人は tan1∘$\tan 1^{\circ }$ は汚そうな数なので無理数だろうと当たりをつけますが，直感が外れた人は，二倍の時間がかかってしまいます。

tan1∘$\tan 1^{\circ }$ が無理数であることの証明

厳密には 3–√$\sqrt{3}$ が無理数であることも証明するべきでしょう。

cos1∘$\cos 1^{\circ }$ が無理数であることの証明

ついでに sin1∘$\sin 1^{\circ }$ と cos1∘$\cos 1^{\circ }$ が無理数であることも証明してみます。

tan1∘$\tan 1^{\circ }$ と似たような手法で証明したいのですが，sin$\sin$ や cos$\cos$ の加法定理は sin$\sin$ と cos$\cos$ が入り乱れていて片方だけを取り扱うのは難しいです。

「 cos$\cos$ だけ」または「 sin$\sin$ だけ」の式を探す必要があります。 cos$\cos$ の倍角公式や三倍角の公式は cos$\cos$ だけの式なのでうまくいきそうですが，それだけでは行き詰まります。
ここで思い浮かんで欲しいのが倍角公式を発展させたチェビシェフ多項式です。→チェビシェフ多項式

cosnθ$\cos n\theta$ が cosθ$\cos \theta$ の n$n$ 次式で表せるという事実に気がつけば cos$\cos$ の方の証明は簡単です。

sin1∘$\sin 1^{\circ }$ が無理数であることの証明

最後は sin$\sin$ です。 sin$\sin$ と cos$\cos$ は本質的に同じものなので片方できたらそれに似た方法でもう片方もできます。

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