入試問題は、無駄な回り道をしてでも、答えにたどり着くことが重要だ。
エレガントに解くことにこだわらない。
この問題は、模範的な解答はいたることろで公開されているが、途中で躓いてしまった解き方の例を示す。全然エレガントではないが、これでも正解になるはず(採点基準による)。地道でも、論理的に道筋たっていれば点数になるはず。時間との勝負もあるので、場合によっては、この地道な解き方で答案作成する可能性もあるはず。
もちろん、時間に余裕があれば、最短な無駄のない解法でエレガントに答案作成するべきだ。
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問題
2016京大前期文系
第3問nを4以上の自然数とする。
数2,12,1331がすべてn進法で表記されているとして、212=1331 が成り立っている。
このときnはいくつか。十進法で答えよ。
とにかく地味な解法
とにかく、答えの当たりを付けておいて、答えらしきものが見えてきたら、論理的に漏れがないか確認して答案を作成する。
(問題にそんなことはかかれていないが)まずは、nが10以上になることはありえないとして考える。
この場合、答えの候補は、5,6,7,8,9となる。
1、2、3は何進数で表記しても1、2、3のままだ。
ここに注目すると、与えられたn進数の方程式を普通の方程式に書き換えることができる。
※以下、
例えば、
6進数でも8進数でも、
地道に計算
これも除外
地道に計算
ビンゴ!
地道に計算
除外
したがって、
ここで、答えが見つかったしかも、検算まで完了している。ヤッター!
いちおう、
題意(
ここで、
(実は、
なので、
ここがこの問題のコアなところだろう。
マークシート式なら
を示せば良い。
すでに、n=11までは示してあるから、それ以上のnに対して数学的帰納法適用だ。
が成立していると仮定する。
なんとなくめどがついた。
あとは、これらの考えた内容をわかりやすく、書き直せばよい。
考え方のまとめ
- ためしに、小さな数、4,5,6,7,8,9あたりで式の意味を確認する
n=7 が題意を満たす。 - 問題をときやすい形に変形する(すべて十進数に変換する)
2n+2=n3+3n2+3n+1 となる正の整数n を求めれば良い。 - 明らかに適さない解(n=偶数)を除外する。
n>7 で解がないことを示す。
2n+2>n3+3n2+3n+1 を数学的帰納法で示す。
コメント
たまたまだと思うが、この問題では、
この等式の正の整数解を求めよというのがこの問題と同値だが、素因数分解の一意性から
このことから、整数解nの条件をかなり絞りこめることができる。