三角関数の応用は、この分野の中ではほとんどできないんですが、この余弦定理はその数少ない重要な「応用」です。
右に直角三角形が描いてあります。
三平方の定理から、
が成り立ちます。
ですから、ｘｙｚの二つが分かっていれば、最後の一辺は、計算で出せますね。
でも、直角三角形でなければ、こうはいきません。
とは言えません。直角ではないので、誤差が出ます。
後で説明しますが、その誤差が「－２・ａ・ｂ・ｃｏｓθ」になるんですね。
ですから、直角三角形以外では、三平方の定理は、
という形になるんです。
この式を余弦定理と言います。
ところで、たまたまθが９０度の場合を考えてみましょう。
ｃｏｓ９０ ＝ ０
ですから、
になるでしょ？
そうです。中学校で習った「三平方の定理」というのは、「余弦定理」の特別な場合（θ＝９０の場合）だったんですね。
これは、証明もやっておきましょう。
その途中過程の計算方法が、結構応用出来るので、ぜひ理解して下さい。
左の三角形を見てください。
頂点Ａから、辺ＢＣに垂線を下してみましょう。
で、左のように、各、辺の長さを、ｄ，ｅ，ｆと置きましょう。
当然、
1) ａ ＝ ｆ ＋ ｅ
緑色と水色の三角形は、どちらも直角三角形です。
緑の三角形について、考えてみると、三平方の定理から、
2) ｃ2 ＝ ｄ2 ＋ ｆ2
さらに、緑の三角形に関して、三平方の定理、
3) ｂ2 ＝ ｄ2 ＋ ｅ2
と、ｃｏｓの定義、
4) ｃｏｓθ ＝ （ｅ／ｂ）
さらにこれの分母を払って、
4') ｅ ＝ ｂ・ｃｏｓθ
ができますね。
まず、4')を使ってｅを消去しますと、
1') ａ ＝ ｆ ＋ ｂ・ｃｏｓθ
3') ｂ2 ＝ ｄ2 ＋ （ｂ・ｃｏｓθ）2
で、この3')を2)へ代入してｄを消去しますと、
2') ｃ2 ＝ （ｂ2－（ｂ・ｃｏｓθ）2） ＋ ｆ2
さらに、1')を代入して、ｆを消しましょう。
2'') ｃ2 ＝ （ｂ2－（ｂ・ｃｏｓθ）2） ＋ （ａ－ｂ・ｃｏｓθ）2
ｃ2 ＝ （ｂ2－（ｂ・ｃｏｓθ）2） ＋ ａ2＋（ｂ・ｃｏｓθ）2 －２・ａ・ｂ・ｃｏｓθ
＝ ａ2 ＋ ｂ2 －２・ａ・ｂ・ｃｏｓθ
証明終了。
ところで、数学Ｂを既に学んだ人は気が付きませんか？ この形。
ｃ2 ＝ ａ2 ＋ ｂ2 －２・ａ・ｂ・ｃｏｓθ
何かに似ていませんか？
ｃｏｓθ
・・・・
そうです！
この余弦定理ってのは、実は内積と同じ事なんです。
というよりは、内積が余弦定理と同じと言うべきかな？
では右の絵を見てください。
＝ 
－ 
ですね？
これを二乗して下さい。
2 ＝ 
2 ＋ 
2 －２ｃｏｓθ
ですね？
これからベクトル記号をはずすと、
ｃ2 ＝ ａ2 ＋ ｂ2 －２・ａ・ｂ・ｃｏｓθ
ね、余弦定理が出ますね？
