三角関数が絡む漸化式の極限の問題の解説で わからないところがあります。 写...

基本的にはまったく問題ありませんが、疑問のおおもとは
数学的帰納法をきちんと理解していないことだと思います。
機械的に
n=1のとき成立
n=kのとき成立を仮定して
n=k+1のときの成立を示す
という手順だけで、証明問題を解いているという印象です。

とにかく、k=0～からと考えて、という発想がマズい。

数列｛a(n)｝は｛a(1),a(2),a(3),・・・｝という無限個の
項があり、第1項はa(1),第2項はa(2),第3項はa(3),・・・です。
第0項は定義されていません。

-π<θ<πの各辺2で割ってみると-π/2<θ/2<π/2
これは正しいし、
-π/2<θ/(2^k)<π/2 k≧1 ← ココがポイント
より
cos{θ/(2^(k+1))}>0
という関係も正しいのですが、本問の答案として
数学的帰納法による証明の中で使用するのであれば、
その内容と正しく対応しているべきです。

模範解答では根号を外すにあたって、
根号内にある cos{θ/(2^(k+1))}>0 を示すため
k≧1だからk+1≧2という前提で、きちんと
-π/4<θ/(2^(k+1))<π/4
としているのです。

cos{θ/(2^(k+1))}>0 を示すためには
-π/2<θ/(2^(k+1))<π/2
が示せれば十分ですから、本問では、これでももちろん
正しい答と言えますが、本問から離れて一般的な数学の
理解を確認するなら、数学的帰納法のキモであるk≧1と
いう条件を軽視している、と推察されます。

数学的帰納法の骨子は、n=kのとき成立を仮定すると
n=k+1のときの成立が示せる、というロジックであって、
実際にn=1のとき成立を示すならk≧1という条件がつくし、
n=0のとき成立を示すならk≧0という条件がつくのです。

数学的帰納法については以下を参照してください。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1012988259...