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正四面体の内部の点から各面に下ろした垂線の長さの和は一定であることを証明せよ。

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ID非公開さん

2017/10/319:53:21

正四面体の内部の点から各面に下ろした垂線の長さの和は一定であることを証明せよ。

正四面体ABCDの内部の点をPとすると、四面体ABCDの体積は、
三角錐PABC,PBCD,PCDA,PDABの体積の和となることを用いて示す。

この証明をしてください

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ich********さん

2017/10/320:28:56

Pから、△ABC,△BCD,△CDA,△DABに下ろした垂線の長さをそれぞれh₁,h₂,h₃,h₄とする。

正四面体ABCDの体積をＶ、正四面体の各面の面積は等しいので、これをＳとすると

V=三角錐PABCの体積+三角錐PBCDの体積+三角錐PCDAの体積+三角錐PDABの体積
=(Ｓh₁/3)+(Ｓh₂/3)+(Ｓh₃/3)+(Ｓh₄/3)
=(s/3)(h₁+h₂+h₃+h₄)

よって、h₁+h₂+h₃+h₄＝3V/S
従って、垂線の長さの和は一定である。

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    質問者

    ID非公開さん

    2017/10/407:49:09

    回答ありがとうございます。

    最後の、
    h1+h2+h3+h4=3V/S
    という式から、なぜ垂線の和は一定である、となるのですか？

    考えてみたのですか、理解できませんでした。
    教えていただけると幸いです。

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