この記事を読むとわかること
・5と8の和で表すことのできない最大の整数は何か
・算数で解いた場合の解法
・数学で解いた場合の解法
最近こんなツイートがバズっているのを見かけました↓
「大学入試で出てもおかしくないレベル」とまではいかないとは思いますが、算数によっても解けるし数学によっても解けるという面では誰でも楽しめる問題だなと感じました。
そして、数学の知識があれば暗算で解けてしまうので、数学が算数よりも優れている部分を感じられるでしょう。
この記事ではこの問題について算数・数学の2通りの解法で解説していきたいと思います！
5と8の和で表せない最大の整数は？
そもそも問題の意味は？
このツイートへのリプライを見ると、そもそも問題の意味がわからないという人が多かったので、問題の意味を説明します。
たとえば、18という数は、
と書けるので、5と8だけの和で表される数です。しかし、17はこのような形で表すことができません。
「17のように5と8の足し算だけで表すことができない整数がありますが、このような数には実は最大値が存在しています。それはなんでしょうか求めてくださいね」というのが噛み砕いた表現です。
数学的な問題文にするならば以下のようになります。
の形で書けない整数の中で最も大きいものを求めよ。
ずばり答えは27
この問題の答えは27になります。
どうして答えが27になるんでしょうか？算数的な解き方、数学的な解き方の2通りを紹介したいと思います！
算数的な解法
まずは算数的な解法を紹介したいと思います！
5列に数字を書き並べる
この手の問題は2つの数字どちらかを選んで、その数の列に並べるのが最初の作業です！今回は、5と8なので、5列に並べると良いでしょう。
実際に並べるとこんな感じになります。
表せる数を見つけてその下を全部消す
5列に数を書き並べたのは、「1つ表せる数を見つけたらその下に書いてある数は全部表せると分かるから」です。例えば、24という数は、8を3回足せば表せます。こういう数に◯をつけておきましょう。
すると、24の下に書いてある29は、これに5を足せば表せます。その下に書いてある34はさらにもう一回5を足せば表せます。その下は…
というように、1つ表せる数を見つければその下に書いてある数は5を足していけば表せることがわかりますね！
これをやっていくと、以下のようになります。
したがって、表すことのできない最大の数は27だということが一目瞭然ですね！これが算数的解法になります。
数学的な解法
ここからは数学的な解法について説明していきます。まず、与えられた問題は1次不定方程式に関する問題です。
不定方程式についての知識がない方はこちらの記事がおすすめです↓
不定方程式についての知識があるものとして、以下、解説を進めていきます。
x,yが0以上という条件がなければ任意の整数を表せる
今回の問題では、
もう少し具体的には、ある整数
の形で表したいとき、
このような表し方は1通りではなく、
の形で表せるものすべてが解となり、これを一般解と呼ぶんでしたね。
k の値を調整してもx,yを0以上にできないギリギリが最大値
大きな自然数では、
つまり、
今回の説明で「異符号」という言葉を使っていますが、「0と正の数」「負の数」の2つのグループにわけたときに2数が異なるグループに属していることを異符号と読んでいます。
厳密には間違いであることに注意してください。
先ほどの一般解の形を考えれば、常に異符号である絶妙な状況というのは、ある
よって、
となります。
これを一般化すれば、以下のようになります。
の形で表すことができない整数のうち最大のものは、
である。
これを覚えておけば算数の問題も一瞬で解けるようになりますね！
まとめ
・5と8の和で表せない最大の整数は27
・算数的に解くなら、5列に数字を並べて消していく！
・数学的に解くなら
整数問題が解けるようになるには網羅的にたくさんの問題を解く必要があります。整数問題を解くなら「マスター・オブ・整数」参考書がおすすめです！
