はじめに

フェルマーの最終定理が成り立たないと仮定すれば，フライ曲線

y^{2} = x (x - a^{n}) (x + b^{n})

が得られる(詳しい話はこちら)。この記事では，フライ曲線が半安定な楕円曲線であることを説明する。

このページは動画でも解説をしています。
フライ曲線は半安定

（9/8 楕円曲線の定義を変更した）

半安定な楕円曲線の定義

※ここでの定数 $a, b$ はフライ曲線とは関係ない

楕円曲線 $y^{2} = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ が安定であるとは，(右辺)=0としてできる3次方程式が，全ての素数 $p$ を法として重根を持たないときである。

楕円曲線 $y^{2} = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ が半安定であるとは，(右辺)=0としてできる3次方程式が，ある素数 $p$ で2重根を持ち，それ以外の素数で3重根を持たないことである。

楕円曲線 $y^{2} = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ が不安定であるとは，(右辺)=0としてできる３次方程式が，ある素数 $p$ を法として3重根を持つときである。

楕円曲線自身は（右辺）=0としても重根を持たないですが，素数 $p$ を法とすると持つ場合があるんですね。

フライ曲線

y^{2} = x (x - a^{n}) (x + b^{n})

に注目すると，解は $x = 0, a^{n}, b^{n}$ なので $a$ と $b$ が互いに素であれば，どのような素数 $p$ を法としても，2重根までですね。そして，フェルマーの最終定理の $a, b, c$ はそれぞれ互いに素らしいので，フライ曲線は半安定になりますね。

フェルマーの最終定理の $a, b, c$ がそれぞれ互いに素であることの説明。