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前項で述べた通り,\ 指数関数$y=a^x$と対数関数$y=\log_ax$は互いに逆関数の関係にある. \\[.2zh] よって,\ そのグラフは直線$y=x$に関して対称となる.\ これは数I\hspace{-.1em}Iで学習済みである. \\\\
次の関数の逆関数を求め,\ そのグラフをかけ. \ 逆関数は\ \ \
念のため,\ 逆関数の求め方を確認しておく. \\[.2zh] [1]\ \ 与えられた関数f(x)の値域を調べる.\ これが逆関数f^{-1}(x)の定義域になる. \\[.2zh] [2]\ \ y=f(x)をx=g(y)の形に変形する. \\[.2zh] [3]\ \ xとyを入れ替え,\ y=g(x)=f^{-1}(x)とする. \\[1zh] y=2^{x+1}+1 → 2^{x+1}=y-1 → x+1=\log_2(y-1) → x=\log_2(y-1)-1 \\[1zh] 一般に,\ x\ →\ x-p,\ \ y\ →\ y-qとすることは,\ x方向にp,\ y方向にq平行移動することを意味する. \\[.2zh] y=2^{x+1}+1\ [y-1=2^{x+1}]\ は,\ \ y=2^x\,をx方向に-1,\ y方向に+1平行移動した関数である. \\[.2zh] ゆえに,\ y=1を漸近線にもつ.\ 指数関数・対数関数のグラフの図示では,\ 漸近線が必須である. \\[.2zh] y+1=\log_2(x-1)は,\ y=\log_2xをx方向に+1,\ y方向に-1平行移動した関数である. \\[.2zh] ゆえに,\ x=1を漸近線にもつ. \\[.2zh] y=2^{x+1}+1のy切片が3なので,\ y=\log_2(x-1)-1のx切片が3になることにも着目する. \\[1zh] y=2^{x+1}+1の値域y>1より,\ y=\log_2(x-1)-1の定義域はx>1である. \\[.2zh] ただし,\ (真数)>0より自動的にx>1であるから,\ あえてx>1と書いておく必要はない.
y=\log_{\frac12}(x-1)\ は単調減少関数で,\ x=5のときy=-\,2である. \\[.2zh] よって,\ y=\log_{\frac12}(x-1)+2の値域はy\geqq0となる. \\[.2zh] y=\log_{\frac12}(x-1)+2\ は,\ y=\log_{\frac12}(x-1)をx軸方向に1,\ y軸方向に2平行移動した関数である. \\[.2zh] ゆえに,\ x=1を漸近線にもつ. \\[.2zh] y=\left(\bunsuu12\right)^{x-2}+1\ は,\ y=\left(\bunsuu12\right)^xをx軸方向に2,\ y軸方向に1平行移動した関数である. \\[.8zh] ゆえに,\ y=1を漸近線にもつ. \\[.2zh] 自動的に制限はされないので,\ 定義域x\geqq0を忘れずに答えなければならない.
次の関数の逆関数を求め,\ そのグラフをかけ. \ 逆関数は\ \ \
念のため,\ 逆関数の求め方を確認しておく. \\[.2zh] [1]\ \ 与えられた関数f(x)の値域を調べる.\ これが逆関数f^{-1}(x)の定義域になる. \\[.2zh] [2]\ \ y=f(x)をx=g(y)の形に変形する. \\[.2zh] [3]\ \ xとyを入れ替え,\ y=g(x)=f^{-1}(x)とする. \\[1zh] y=2^{x+1}+1 → 2^{x+1}=y-1 → x+1=\log_2(y-1) → x=\log_2(y-1)-1 \\[1zh] 一般に,\ x\ →\ x-p,\ \ y\ →\ y-qとすることは,\ x方向にp,\ y方向にq平行移動することを意味する. \\[.2zh] y=2^{x+1}+1\ [y-1=2^{x+1}]\ は,\ \ y=2^x\,をx方向に-1,\ y方向に+1平行移動した関数である. \\[.2zh] ゆえに,\ y=1を漸近線にもつ.\ 指数関数・対数関数のグラフの図示では,\ 漸近線が必須である. \\[.2zh] y+1=\log_2(x-1)は,\ y=\log_2xをx方向に+1,\ y方向に-1平行移動した関数である. \\[.2zh] ゆえに,\ x=1を漸近線にもつ. \\[.2zh] y=2^{x+1}+1のy切片が3なので,\ y=\log_2(x-1)-1のx切片が3になることにも着目する. \\[1zh] y=2^{x+1}+1の値域y>1より,\ y=\log_2(x-1)-1の定義域はx>1である. \\[.2zh] ただし,\ (真数)>0より自動的にx>1であるから,\ あえてx>1と書いておく必要はない.
y=\log_{\frac12}(x-1)\ は単調減少関数で,\ x=5のときy=-\,2である. \\[.2zh] よって,\ y=\log_{\frac12}(x-1)+2の値域はy\geqq0となる. \\[.2zh] y=\log_{\frac12}(x-1)+2\ は,\ y=\log_{\frac12}(x-1)をx軸方向に1,\ y軸方向に2平行移動した関数である. \\[.2zh] ゆえに,\ x=1を漸近線にもつ. \\[.2zh] y=\left(\bunsuu12\right)^{x-2}+1\ は,\ y=\left(\bunsuu12\right)^xをx軸方向に2,\ y軸方向に1平行移動した関数である. \\[.8zh] ゆえに,\ y=1を漸近線にもつ. \\[.2zh] 自動的に制限はされないので,\ 定義域x\geqq0を忘れずに答えなければならない.
