A-半-A♯-2音半-D-全-E-半-F-全-G-全-A-半-A#

スケールってのはオクターブごとに同じ構造が循環するものです。あと、構成音の音名はなるべく「音名の変化記号を除いた部分」を被らないようにして考えてください。いま、AとA♯が被っているわけですが、それはあんまりよろしくないです。被らせないようにすると、スケールの正体がわかりやすくなります。
これはスケールを分析する上で基本的なところなので、そこを怠ると良くないです。

というわけで、「A B♭ D E F G」。6音のスケールですね。

で、「C」または「C♯」の音名が飛ばされてるので補ってみます。
Cを補えば「Aフリジアンスケール」
A-半-B♭-全-C-全-D-全-E-半-F-全-G
C♯を補えば「Aハーモニックマイナーパーフェクトフィフスビロウスケール」
A-半-B♭-全半-C♯-半-D-全-E-半-F-全-G

そのスケールは、どちらかのIIIを失ったスケールとして見るべきでしょう。音が抜けてるだけのスケールですね。

Aフリジアンスケールだとすると、調号はBに♭がついたkey of Fになります。
F G A B♭ C D E
keyの5番目の音が抜けてる状態なわけですね。

Aハーモニックマイナーパーフェクトフィフスビロウスケールだと、「全音半」の音程があるのでダイアトニック構造ではありません。
Aハーモニックマイナーパーフェクトフィフスビロウスケールは、AフリジアンスケールのIIIが臨時的に♯したスケール、あるいはkey of FのVが臨時的に♯したスケールとして現れるのが普通で、C♯の♯は調号ではなく臨時記号として現れます。

というわけで、この音階を全て半音落とすと、単純にkey of Fからkey of Eに転調したような雰囲気になります。弦楽器と相性の良いキーなので、弦楽器が映えますね。

>A-半-A♯-2音半-D-全-E-半-F-全-G-全-A-半-A#
「A-半-B♭-2全-D-全-E-半-F-全-G-全-A-半-B♭」ですね。

>はどういうスケールになるのでしょうか？
Aフリジアン（A,B♭,C,D,E,F,G）の3度(C)抜きか、
Aフリジアンドミナント（A,B♭,C♯,D,E,F,G）の3度(C♯)抜きか、
A都節の基本形（A,B♭,D,E,F）＆ 短7度G（アプローチノート）

>もしくはスケールとして不完全なのでしょうか？
それは曲や質問の趣旨によりけりです。
都節の曲なら完全です。代表曲がこれ↓（さくらさくら）です。
https://www.youtube.com/watch?v=04afjrahdoA
D都節（D,E♭,G,A,B♭＆C）で出来ています。

>その場合、本来どういったスケールだったと考えられるでしょうか？
もうお解かりだと思います。

>さらにこの音階を全て半音落とすと曲の雰囲気ははどのように変化するのでしょうか
少し落ち着いた感じになる場合もあれば、重たい感じになる場合もあり、一概には言えません。
自分で音を出して感じてください。